קוטר עלסופי

באנליזה מתמטית של מרחבים מטריים (מרחבים שבהם מודדים מרחק בין נקודות), הקוטר העלסופי של קבוצה קומפקטית הוא מספר שמודד את גודל הקבוצה בעין של פיזור נקודות. מיכאל פקטה פיתח את המושג.

את הקוטר הרגיל של קבוצה קומפקטית מגדירים כמרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות בקבוצה. כך d_2(A) = המקסימום של d(x_1,x_2), כאשר d היא פונקציית המרחק.

כהכללה מגדירים קוטר מסדר n. הרעיון: בוחרים n נקודות בקבוצה ומחשבים את מכפלת כל המרחקים הזוגיים ביניהן. לאחר מכן לוקחים חזקה של המקסימום כדי להשיג ממוצע גאומטרי של המרחקים. ניסוח פורמלי: d_n(A) = (מקסימום של המכפלה על כל הזוגות)^{2/(n(n-1))}. הנקודות שבהן מושג המקסימום נקראות נקודות פקטה.

הסדרה d_n(A) יורדת עם n. הגבול d(A)=lim_{n->∞} d_n(A) נקרא הקוטר העלסופי. תחת ההגדרה הזו, הקוטר העלסופי של קבוצה סופית הוא אפס. הקוטר של מעגל שווה לרדיוס שלו. הקוטר של קטע שווה לרבע אורכו.

במרחב מטרי (מקום שאפשר למדוד בו מרחק בין נקודות) יש מושג שנקרא קוטר עלסופי. זהו מספר שמראה איך נקודות יכולות להתפזר בקבוצה, קצת כמו מטענים חשמליים.

מיכאל פקטה המציא את הרעיון הזה.

קודם מגדירים קוטר פשוט. זה המרחק הכי גדול בין שתי נקודות בקבוצה.

אחר כך יש קוטר מסדר n. שם שמים n נקודות ומחשבים את המכפלה של כל המרחקים ביניהן. לוקחים שורש מיוחד כדי לקבל ערך ממוצע.

הסדרה של הערכים האלה קטנה יותר ויותר. כשמגדילים את n לערך אינסופי מקבלים את הקוטר העלסופי.

תוצאות חשובות קצרות: אם יש רק כמה נקודות הקוטר יהיה אפס. בקו מעגלי הקוטר העלסופי שווה לרדיוס. בקטע הקטן הקוטר שווה לרבע האורך.