המושג "רציפות" מציין דבר שאין בו הפסקות, ושניתן לדמיין אותו כחלוקה לאין־סוף. הוא חלה גם על דברים שנראים בחושים וגם על מושגים מופשטים. הרעיון מעלה קושי אינטואיטיבי כיוון שהוא דורש להתמודד עם אינסוף.
בהסטוריה המתמטית הרעיון הופיע אצל הפיתגוראים. הם עבדו רק עם מספרים טבעיים ושברים, ואז גילו מספרים כמו שורש־2 (אשר אינו ניתן לביטוי כשבר). תגלית זו חשפה את קיום מספרים אי־רציונליים, מספרים שלא נכתבים כשבר פשוט, ואת הצורך במושג רציפות הכולל גם אותם.
זנון הציג פרדוקסים שנועדו להראות שקשה להכיר בחלוקה אינסופית בלי הסתבכויות. הוא שאל איך קו שלם יכול להיבנות מאוסף נקודות חסרי גודל. השאלות האינטואיטיביות הללו נשארו משמעותיות לאורך ההיסטוריה.
גם ארכימדס עבד עם חלוקות אינסופיות. הוא חשב שטח עיגול על ידי חלוקתו למשולשים קטנים מאוד, רעיון שמניח שאפשר לעבוד עם "קטן עד אינסוף" גם בלי להגדיר אותו מבחינה פורמלית.
במאות ה־17, 18 פיתחו ניוטון ולייבניץ את החשבון האינפיניטסימלי (calculus) לחישוב שיטחים ושיפועים. בהתחלה השתמשו ברעיון של אינפיניטסימלים, גודל קטן עד אין־קץ, ולעיתים התייחסו אליו באופן לא עקבי.
הפתרון הלוגי העיקרי הגיע על ידי המושג "גבול". גבול מאפשר לתאר התנהגות כשמשתנה מתקרב לערך מסוים, בלי להזדקק לגודל אינסופי מטאפורי. בנוסף, פיתוח תורת הקבוצות של קנטור איפשר הגדרה מדויקת של מספרים אי־רציונליים באמצעות קבוצות אינסופיות.
למרות הפתרונות המתמטיים, יש הטוענים שעדיין עומדות בעיות יסודיות כשעוסקים באינסוף. רעיונות אלו הופרדו מהמתמטיקה הטכנית והועברו לדיון פילוספי ופסיכולוגי, אך הם משפיעים על האקסיומות שעליהן נשענת המתמטיקה.
עד המודרנה שאלת הרציפות הייתה בעיקר פילוסופית. יחידים טענו שהטבע מורכב מיחידות קטנות (אטומים) ואחרים ראו אותו רציף. עם התקדמות המדע, נתגלה שהאטום עצמו מורכב מחלקיקים כמו אלקטרונים ופרוטונים.
התצפיות במיקרו הראו שההתנהגות שונה מזו של כדורים קלאסיים. תורת היחסות החבירה בין חומר לאנרגיה. עיקרון אי־הוודאות וההתפתחות של מכניקת הקוונטים הראו שחלקיקים יכולים להתנהג כתכונה גלית ולא תמיד כמטענים בדידים. כך, הפיזיקה לא מספקת עד היום תשובה חד־משמעית לשאלה אם הטבע רציף.
פילוסופים רבים של העת החדשה התייחסו לנושא. באופן כללי, מי שמאמין שאנו יכולים לתפוס רציפות בשכל נוטה להבין שהיא קיימת בטבע. דקארט וסבורים נוספים טענו לטבען הרציף של הטבע. לעומתם, היו גם קולות זהירים יותר, כמו אצל ניוטון.
הדיון נוגע להבדל בין תפיסה חושית (מה שאנו חשים) לבין תפיסה שכלית (מה שהשכל מסיק). הגישה שמדגישה חוויה חושית נקראת אמפיריציזם; היא טוענת שאין ביכולת החושים לתפוס רציפות מלאה. הגישה שמדגישה את השכל נקראת רציונליזם; היא סבורה שניתן להבין רציפות בשכל.
ג'ון לוק ודיוויד יום, כנציגים של האמפיריציזם, טענו שאין ביכולתנו להרגיש רציפות ממשית בחושים. לייבניץ, שראה את התבונה ככלי מרכזי, טען שניתן לתפוס רציפות מבחינה שכלית.
בסיכום, הרציפות היא מושג מרכזי במתמטיקה, בפיזיקה ובפילוסופיה. יש פתרונות מתמטיים שמאפשרים עבודה מעשית עם אינסוף, אך הבעיות האינטואיטיביות והפילוסופיות לגבי טיבו של הרצף והאפשרות לתפוסו ממשיכות לעורר שאלות.
"רציפות" אומר שאין הפסקות. אפשר לחלק משהו לרצף של חלקים קטנים מאוד.
הפיתגוראים חשבו שרק מספרים פשוטים קיימים. הם הופתעו לגלות שורש־2. שורש־2 הוא מספר שאי־אפשר לכתוב כשבר פשוט. זה נקרא מספר אי־רציונלי.
זנון המציא חידות על רציפות. הוא שאל איך נקודה בלי גודל יכולה לבנות קו שיש לו אורך. גם היום זה נשמע מוזר.
ארכימדס חישב שטח עיגול בעזרת הרבה משולשים קטנים. הוא השתמש ברעיון של חלקים קטנים עד אינסוף.
ניוטון ולייבניץ המציאו את החשבון האינפיניטסימלי. זהו כלי שמחשב שינויים בעזרת חלקים קטנטנים. כדי לפתור בעיות השתמשו במושג "גבול". גבול אומר שמשהו מתקרב לערך מסוים.
קנטור עזר להביא סדר למספרים האלה באמצעות קבוצות אינסופיות.
לפיזיקה היו רעיונות שונים. פעם חשבו שהחומר מחולק לאטומים, חלקים קטנים. מאוחר יותר גילו שחלקיקים קטנים מתנהגים לפעמים כמו גלים. בתורת הקוונטים חלקיקים אינם תמיד ברורים.
לכן, מדענים עדיין לא בטוחים אם הטבע רציף או מחולק לחלקים קטנים.
יש מי שאומר שהחושים שלנו לא מזהים רציפות. זה נקרא אמפיריציזם, מתבסס על החושים. אחרים, רציונליסטים, אומרים ששכלנו יכול להבין רציפות.
ג'ון לוק ודיוויד יום אמרו שהחושים לא תופסים רציפות. לייבניץ אמר שאפשר להבין רציפות בשכל.
בסוף, הרציפות היא רעיון חשוב במתמטיקה ובמדע. חלק מהפתרונות מאפשרים לנו לעבוד עם אינסוף, אבל השאלה איך אנחנו תופסים רצף נשארת פתוחה.
תגובות גולשים