שדה המספרים הממשיים

שדה המספרים הממשיים הוא האוסף של כל המספרים הממשיים. בדרך כלל מסמנים אותו ב-R. אפשר לזהות אותו עם הישר הממשי - כלומר עם כל הנקודות על קו ישר. זיהוי זה מאפשר להשתמש בקואורדינטות כדי לפתור בעיות גאומטריות באמצעות חשבון.

השדה הממשי הוא שדה סדור שלם. משמעות הדבר: יש לו סדר (ניתן להשוות בין שני מספרים), והוא "שלם" במובן הבא - לכל קבוצה לא ריקה של מספרים שמוגבלת מלמעלה יש חסם עליון (החסם העליון הוא המספר הקטן ביותר שמעל כולם). תכונה זו נקראת אקסיומת החסם העליון. מהעובדה הזאת נובעות עוד תכונות חשובות: הממשיים מרחב מטרי שלם ביחס לערך המוחלט, והם ארכימדיים - כלומר אין בהם אינפיניטסימלים מיוחדים.

הממשיים הם יחידים במינם: כל שדה סדור שלם ארכימדי יהיה איזומורפי לשדה הממשי. זאת אומרת, מבחינה מבנית כל המבנים הללו הם זהים.

עוצמת קבוצת הממשיים גדולה מאוד - היא אינה בת מנייה (לא ניתן למנות כל המספרים בזה אחר זה). קנטור הראה זאת בעזרת טכניקת האלכסון שלו. העוצמה שווה לעוצמת קבוצת התת־קבוצות של המספרים הטבעיים, שנוסחה מסמלת בדרך כלל כ-2^{\aleph_0} (הערה זו בהקשר רעיוני בלבד).

גילוי חשוב היה שאינם מספיקים רק המספרים הרציונליים (שברים פשוטים). לדוגמה, אורך האלכסון של ריבוע שצלעו 1 אינו רציונלי (שורש 2). בתחילה ראו במספרים הממשיים נקודות על הישר. את ההגדרה המדויקת של הממשיים אפשר לתת במונחים אלגבריים או אנליטיים. שני בניינים מקובלים מופיעים בספרות המתמטיקה: אחד של קנטור באמצעות סדרות קושי (Cauchy sequences) של רציונליים, והשני של דדקינד באמצעות "חתכים" של רציונליים.

בבניין זה מתחילים מהמספרים הרציונליים ומהמרחק |x-y|. לוקחים את כל סדרות הקושי - סדרות שבהן איברים מתקרבים זה לזה ככל שממשיכים. שתי סדרות נחשבות שוות אם ההפרש ביניהן שואף לאפס. את מחלקות השקילות האלה תופסים בתור המספרים הממשיים. חיבור וכפל מוגדרים איבר-איבר על נציגי המחלקות, וכך נוצרת מבנה של שדה. באמצעות בנייה זו משולבים גם המספרים הרציונליים בתוך הממשיים.

רעיון ההוכחה של היות השדה "שלם" (קיום סופרמום) בנוי על בנייה של שתי סדרות: סדרה של חסמים עליונים שיורדת וסדרה של חסמים תחתונים שעולה. המחלקת השקולות המשותפת נותנת את החסם העליון הקטן ביותר.

חתך דדקינד הוא חלוקה של קבוצת המספרים הרציונליים לשני חלקים כך שהחלק השמאלי אינו ריק ושאינו מכיל גדול מינימלי. לכל חתך מקושרת נקודה בממשיים. סדר מציאת החסם העליון נעשה על ידי איחוד החתכים של קבוצה חסומה מלעיל. גם כאן מגדירים חיבור וכפל על החתכים, ובסופו של דבר מתקבל שדה סדור שלם.

סיכום רעיוני: שתי הבניות הללו שונות באופן הטכני, אך יוצרת את אותו האובייקט הממשי, שכן כל שדה סדור שלם ארכימדי הוא ייחודי עד איזומורפיזם.

המספרים הממשיים הם כל המספרים שנמצאים על קו ישר. קוראים לזה "הישר הממשי". אפשר למדוד איתם מרחקים ולשים נקודות במישור.

באמצעות הממשיים אין "חורים" בישר. אם יש קבוצה של מספרים שיש לה גבול עליון, אז יש גם את הגבול הקטן ביותר שנמצא מעל כולם. זה אומר שהישר שלם ולא חסר נקודות.

הממשיים הם הרבה יותר מ"רשימה". אפשר להראות שאי אפשר למנות את כולם, כלומר יש יותר ממספרים טבעיים.

לפני גילוי הממשיים חשבו שהרציונליים (שברים פשוטים) מספיקים. אבל יש מספרים כמו שורש שני שלא נכתבים כשבר. לכן המציאו הגדרות מדויקות יותר לממשיים.

1) סדרות שמתקרבות זו לזו. לוקחים סדרות של שברים שקרובות מאוד בסוף. אם שתי סדרות מתקרבות אחת לשנייה הן מייצגות את אותו מספר ממשי.

2) חתכי דדקינד. מחלקים את כל השברים לשתי קבוצות: השמאלית וקראת־לה. כל חלוקה כזו מייצגת מספר ממשי.

שתי הדרכים מובילות לאותו הישר הממשי. אפשר להשתמש בממשיים כדי למקם נקודות ולפתור בעיות גאומטריות.