שדה ארכימדי

בשדה ארכימדי תכונת ארכימדס אומרת שאי אפשר למצוא איבר שהוא גדול מכל מספר טבעי. שדה הוא מערכת של מספרים שבה מגדירים חיבור וכפל; סדור פירושו שיש בה סדר שמתאים לפעולות אלה. דוגמה חשובה: שדה המספרים הממשיים הוא ארכימדי, ואילו שדה טורי לורן ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​(R((x))) אינו ארכימדי. ידוע שכל שדה ארכימדי ניתן לשכן בתוך השדה הממשי.

השם נובע מארכימדס מסירקוזה. הוא הסתכל על קטעים גאומטריים והראה שאם מניחים עותקים של קטע קצר אחד אחרי השני, לבסוף הם יחצו קטע ארוך. את המושג בשדות ייחס במפורש אוטו שטולץ בתחילת המאה ה-20.

כל שדה סדור חייב להיות בעלי מאפיין 0, ולכן להכיל עותק של המספרים הרציונליים והשלמים. קיימות כמה ניסוחים שקולים של ארכימדיות; שדה סדור שמקיים אותם נקרא ארכימדי. בתרגול אנליטי משתמשים בארכימדיות כדי להחליף את ε (ההפרש הקטן) במספרים מהצורה 1/n, וכך לבנות סדרות שבהן האיבר ה-n תלוי ב-n.

כל שדה סדור שהוא שלם במשמעות קיום חסם עליון הוא ארכימדי. התכונה החלשה יותר, של שלמות טופולוגית, אינה מספיקה תמיד. בארכימדיות שני המושגים של שלמות מתלכדים. ארכימדיות עוברת לתת-שדות: תת-שדה של שדה ארכימדי הוא גם ארכימדי.

משפט מרכזי: אם F⊆K הן שדות סדורים ארכימדיים, ו-F שלם (כלומר יש לה חסם עליון לכל קבוצה חסומה), אז K=F. בסיכום רעיוני של ההוכחה: הנחה שקיים x ב-K שאינו ב-F מובילה לסתירה על החוסם העליון של קבוצות מתאימות ב-F.

לכל שדה ארכימדי F בונים את ההשלמה של חתכי דדקינד ˆF, שהיא שדה שלם ואליה F צפוף. מכיוון שההשלמה של הרציונליים היא המספרים הממשיים, מתקבל ש-F משוכלל בתוך R; כלומר כל שדה ארכימדי הוא תת-שדה של הממשיים.

שדה ארכימדי הוא סוג של מערכת מספרים. שדה זה לא יכול להכיל מספר שהוא גדול מכל מספר טבעי.

שדה זה דומה לקבוצה של מספרים שיש בה חיבור וכפל. סדור אומר שיש בה סדר בין המספרים.

דוגמה: המספרים הממשיים הם ארכימדיים. שדה טורי לורן הוא לא ארכימדי.

השם מגיע מארכימדס. הוא הראה שאפשר להשוות קטעים על ידי העתקתם פעמים רבות.

כל שדה סדור מכיל את המספרים הרציונליים והשלמים. בארכימדיות אפשר להחליף את המספר הקטן ε ב-1/n. זה עוזר לבנות סדרות שמתקרבות לערכים.

אם לשדה יש תמיד חסם עליון לקבוצות חסומות, הוא ארכימדי. ארכימדיות עוברת מתת-שדה להורה. כל שדה ארכימדי אפשר לראות בתוך המספרים הממשיים.