שונות משותפת

שונות משותפת (באנגלית: Covariance) היא מדד לקשר בין שני משתנים מקריים. היא חיובית כאשר שניהם נוטים לסטות מהממוצע באותו כיוון, ושלילית כאשר הם סוטים בכיוונים מנוגדים. אם השונות המשותפת שווה לאפס, זה אומר שאין מתאם ליניארי ביניהם, אך לא בהכרח שאין תלות כלל.

ניתן לכתוב את ההגדרה כפעולה על התוחלות: cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]. כאן E[X] היא התוחלת, כלומר הממוצע של X. הביטוי שקול ל־E[XY]−E[X]E[Y].

ניתן לנרמל את השונות המשותפת על ידי חלוקה בשורש מכפלת השונויות של המשתנים. כך מקבלים את מקדם המתאם, מספר בערכים שבין −1 ל־1. ערכים קרובים ל־1 או −1 מראים על קשר חזק; ערך קרוב ל־0 מראה על חוסר מתאם ליניארי.

השונות המשותפת היא סימטרית: cov(X,Y)=cov(Y,X). היא ביליניארית, כלומר cov(aX+bY,Z)=a·cov(X,Z)+b·cov(Y,Z). בנוסף היא חיובית־חצי־מוגדרת (לא מחליקה משתנים קבועים), ולכן מזכירה מכפלה פנימית במרחב המשתנים המקריים.

איום חשבוני חשוב נובע מאי־שוויון קושי־שוורץ: |cov(X,Y)|^2 ≤ V(X)V(Y), כאשר V(X) היא השונות של X. מכאן שהמקדם המנורמל אינו עולה על 1.

כאשר X הוא וקטור של משתנים, מסמנים ב־cov(X) את מטריצת השונויות המשותפות. הרכיב (i,j) שלה הוא cov(X_i,X_j). פעולה ליניארית על המשתנים, באמצעות מטריצה קבועה A, משנה את מטריצת השונויות לפי הביטוי cov(AX)=A·cov(X)·A^T.

שונות משותפת היא דרך לבדוק אם שני כוחות או מדידות זזים יחד. היא חיובית כששניהם עולים או יורדים יחד. היא שלילית כשאחד עולה והשני יורד. ערך אפס אומר שאין תנועה משותפת ברורה.

לחשב אותה לוקחים את ההפרש של כל מספר מהממוצע שלו. מכפילים את שני ההפרשים ומחשבים ממוצע של התוצאות. זהו הערך שנקרא שונות משותפת. התוחלת היא הממוצע.

אפשר גם להמיר אותה למספר בין −1 ל־1 שנקרא מתאם. אם המתאם קרוב ל־1 או ל־1־שלילי, הקשר חזק. אם הוא קרוב ל־0, אין קשר ליניארי חזק.

שונות משותפת של משתנה עם עצמו היא ה״שונות״ שלו. אם שני משתנים בלתי תלויים, השונות המשותפת שלהם תהיה אפס. אך אפס לא תמיד אומר שאין שום קשר אחר ביניהם.

אם יש הרבה משתנים ביחד, אפשר לסדר את כל השונויות בטבלה מיוחדת שנקראת מטריצה. כשמשנים את המשתנים בעזרת חיבור וכפל בקבועים, הטבלה משתנה לפי חוק שנקבע על ידי המטריצה שמשתמשים בה.