שיטות אינטגרציה

״שיטות אינטגרציה״ הן דרכים לחשב אינטגרלים ולהציגם בפונקציות ידועות. אם זה לא אפשרי, מנסים לחשב את הערך כפונקציה של x או לפחות עבור ערכים מיוחדים.

אינטגרל לא מסוים, פונקציה שנגזרת שלה שווה ל-f. לפי המשפט היסודי של החשבון, הביטוי y(x)=y0+∫_{x0}^{x} f(t)dt הוא דוגמה כזו, בתנאי ש-f רציפה בין הנקודות.

לא תמיד אפשר להציג אינטגרל באמצעות פונקציות אלמנטריות (פונקציות בסיסיות כמו חזקה, חזקת e, טריגונומטריות). דוגמה ידועה היא ∫_{0}^{x} e^{-y^2} dy, שאינו אלמנטרי.

בניגוד לגזירה, שאין אלגוריתם כללי למציאת אינטגרלים לא מסוימים. ניתן למצוא אינטגרלים מהירים לפונקציות בסיסיות בעזרת חוקי גזירה הפוכים. במקרים מסובכים משתמשים בטכניקות כמו החלפת משתנים (שינוי המשתנה באינטגרל) ואינטגרציה בחלקים (שיטה שמחלקת את האינטגרל לשני גורמים) כדי לפשט את הבעיה.

ניתן גם לחלק את השיטות לשלוש קטגוריות עיקריות: שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים, שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים, ושיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים בעזרת אנליזה נומרית.

שיטות אינטגרציה הן דרכים למצוא אינטגרלים. אינטגרל הוא סכום אינסופי של ערכים. אינטגרל לא מסוים הוא פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה שלנו. נגזרת מסבירה כמה פונקציה משתנה.

לפעמים אי אפשר לכתוב את האינטגרל בעזרת פונקציות פשוטות. דוגמה היא אינטגרל של e בחזקת -y ריבוע. זה אומר שלא תמיד נוכל לבטא את התוצאה בפונקציות מוכרות.

יש שיטות פשוטות שמעזרות למצוא אינטגרלים של פונקציות רגילות. שתי שיטות חשובות הן החלפת משתנים (שינוי הכתיבה כדי להקל) ואינטגרציה בחלקים (חילוק האינטגרל לשני חלקים). אם זה עדיין קשה, מחשבים את האינטגרל בעזרת שיטות נומריות, חישוב בעזרת מחשב.