שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים

בעוד שחלק מהאינטגרלים ניתנים לחישוב אנליטית, יש אינטגרלים שמחשביהם מוצאים רק באמצעות אנליזה נומרית. אנליזה נומרית נותנת מספרים שמעריכים את הערך המדויק עד לרמת הדיוק שנרצה.

על פי ההגדרה של רימן, האינטגרל הוא הגבול של סכומי נקודות על חיתוכים של התחום. מחלקים את הקטע [a,b] לתת-קטעים, בוחרים נקודות בדגימה בכל תת-קטע, ומכפילים ערכי הפונקציה באורכי התת-קטעים. כאשר מחלקים יותר את הקטע, הסכום מתקרב לערך האמיתי. באנליזה נומרית מחליפים את הגבול בטור סופי של סכום משוקלל: לכל נקודה יש משקל w_i, כדי לשפר את הקירוב.

שיטות נפוצות מבוססות על בחירת נקודות ומשקלים שונים. שיטת הטרפז (המקרבת את השטח לטרפזים) היא פשוטה ודורשת חלוקה שווה. שיטת סימפסון משתמשת בפרבולות כדי לקבל דיוק גבוה יותר. רומברג משפרת את שיטת הטרפז באמצעות מרווחים קטנים יותר. שיטת גאוס משתמשת במשקלים מיוחדים שמבוססים על פולינומים אורתוגונליים. יש שיטות סגורות שמחשבות גם את נקודות הקצה, ויש שיטות פתוחות שמדלגות עליהן.

מונטה קרלו היא שיטה סטטיסטית. זורקים נקודות אקראיות על שטח ידוע ובודקים את היחס של הנקודות שנופלות תחת הגרף. יחס זה נותן קירוב לגודל ההתחום. שיטה זו נוחה לממדים גבוהים ולמקרים מורכבים.

חלק מהאינטגרלים מיושמים כפונקציות מיוחדות. ההתפלגות הנורמלית היא דוגמה נפוצה. שימוש בפונקציות מוכרות ובקירובים רציונליים מאפשר לחשב אינטגרלים אחרים ביעילות.

חלק מהאינטגרלים אי אפשר לפתור בדיוק. אז מחשבים קירובים מספריים. אינטגרל = השטח מתחת לגרף של פונקציה. פונקציה = חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר.

מחליקים את הקטע לחלקים קטנים. בכל חלק מודדים את גובה הפונקציה. מכפילים את הגובה ברוחב החתיכה ומוסיפים. ככל שיש יותר חלקים, התוצאה מתקרבת יותר לאמת.

שיטת הטרפז משתמשת בטרפזים קטנים כדי להעריך שטח. שיטת סימפסון מדמה כל חלק בעקומה לפרבולה. ככל שמוסיפים יותר חלקים, הקירוב משתפר.

במונטה קרלו זורקים "חיצים" אקראיים על השטח. מחשבים כמה חיצים נפלו תחת העקומה. היחס בין חיצים בתוך העקומה לכלל החיצים נותן את שטח האזור.

יש פונקציות מיוחדות שעוזרות לחשב אינטגרלים אחרים. דוגמה חשובה היא ההתפלגות הנורמלית, שהיא עקומה פעמונית. לעיתים משתמשים בקירובים מוכרים של פונקציות כאלה כדי לחשב אינטגרלים במהירות.