משפט בולצאנו-ויירשטראס
המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה. אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף ...
אדיג'ה
הנהר אדיג'ה (באיטלקית Adige, בגרמנית Etsch) מתחיל ליד מעבר רזיה שבאיטליה. הוא זורם עד הים האדריאטי ליד קיוג'ה. אורכו כ-409 קילומטרים. זהו הנהר השני באורך שלו באיטליה, אחרי נהר הפו. הנהר עובר ליד ערים ידועות כמו טרנטו וורונה. גם בולצאנו קרוב אליו. אזור שבו כל המים זורמים אל הנהר נקרא אגן ניקוז. לאג...
בולצנו
בולצנו (איטלקית: Bolzano, גרמנית: Bozen) היא עיר בצפון איטליה. היא בירת דרום טירול. בפרק מוזיאון בארכיאולוגיה שומרים את אצי, מומיית קרח (גופה שהשתמרה בקור). הרומאים בנו את בולצנו ב-15 לפני הספירה. המפקד הרומי דרוסוס קרא לעיר Pons Drusi. העיר הייתה חשובה למסחר בין ונציה וצפון אירופה. פעם היו בה שוו...
קארל ויירשטראס
קארל ויירשטראס (1815, 1897) היה מתמטיקאי גרמני חשוב. קוראים לו "אבי האנליזה". אנליזה היא חקר גבולות ושינוי. גבול הוא איך משהו מתקרב לערך. נגזרת היא מדד לשינוי, כמו שיפוע במתמטיקה. ויירשטראס עשה סדר ברעיונות האלה. הוא המציא דרך מדויקת להגדיר מתי סדרה מתקרבת לערך. הוא הראה דוגמה מפתיעה ב-1872: פונקצ...
משפט קנטור לרציפות במידה שווה
משפט קנטור אומר: אם פונקציה רציפה על קטע סגור, היא רציפה באותו אופן בכל הקטע. רציפה כאן פירושה שאין קפיצות פתאומיות בתוצאות. רציפות במידה שווה (אחידה) פירושה: אותו כלל קטן של שינוי ב-x עובד לכל נקודה בקטע. נניח שהפונקציה רציפה אבל לא אחידה. אז יש מרחק קטן רציף בין כל זוג נקודות x_n ו-y_n, אבל הערכי...
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף. קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצו...
קבוצה קומפקטית
קבוצה קומפקטית היא קבוצה שאפשר "לכסות" בכמה פתוחות ואז לבחור מעט מהן שעדיין מכסות. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצות פתוחות שאיחודן כולל את כל הנקודות. תת-כיסוי הוא כמה קבוצות מהכיסוי הזה שמכסות גם כן. חוקרים למדו את הרעיון הזה לפני מאה שנים. דוגמאות חשובות עזרו להבין את המושג. אם מכל כיסוי פתוח אפשר ל...