"פתית השלג של קוך" הוא פרקטל שהציע המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך בשנת 1904. פרקטל הוא צורה שחוזרת על עצמה ברמות שונות של הגדלה. שמו נובע מהדמיון שלו לפתית שלג. ניתן לבנות אותו על ידי חזרה אינסופית על כלל גאומטרי פשוט: כל קטע מחולק לשלושה חלקים, והחלק האמצעי מוחלף בשני קטעים יוצרים זווית, וכך חוזרים על התהליך.
העקומה ידועה גם כ"עקומת קוך" או "האי של קוך". קארל ויירשטראס כבר תיאר עקומה דומה באנליזה בשנת 1872, כדי להראות שרציפות של פונקציה אינה מבטיחה שיש לה נגזרת בכל נקודה. במקרה של קוך, העקומה נשארת רציפה אך אין לה משיק (כיוון) בשום נקודה.
אם מתחילים ממשולש שווה־צלעות, ולאחר אינסוף איטרציות, הצורה שקוראים לה פתית השלג של קוך מתקבלת.
בכל איטרציה אורך כל קטע גדל ביחס של 4/3 לעומת הקודם. לכן אחרי מספר רב של חזרות האורך הכולל ממשיך לגדול ולבסוף נעשה בלתי־סופי. זאת אומרת, לפרקטל יש היקף אינסופי.
למרות שההיקף אינסופי, השטח של פתית השלג הוא סופי. השטח הכולל מתכנס לערך של כ־1.6 פעמים שטח המשולש ההתחלתי (a_0 הוא שטח המשולש ההתחלתי). כלומר מוסיפים שטחים קטנים בכל איטרציה, והסכום שלהם מתכנס לערך סופי.
ממד האוסדורף הוא מדד שמתאר עד כמה צורה פרקטלית מתפתחת בין מימד של קו (1) לממדים גבוהים יותר. במקרה של פתית השלג של קוך הממד הוא log(4)/log(3), בערך 1.262. זהו ממד שאינו שלם, וזה אופייני לפרקטלים.
פתית השלג של קוך היא צורה שחוזרת על עצמה שוב ושוב. המתמטיקאי הלגה פון קוך הציג אותה בשנת 1904. אם מתחילים ממשולש שווה־צלעות ומבצעים את אותה פעולה פעמיים ושלוש שוב ושוב, יוצאת צורה שדומה לפתית שלג.
הצורה נקראת גם עקומת קוך או אי של קוך. קארל ויירשטראס דיבר על עקומות דומות כבר ב־1872. הוא הראה שאפילו אם קו חלק (רציף), הוא יכול להיות מוזר בלי כיוון ברור.
בכל שלב מאורכים הקווים גדלים. לאחר הרבה מאוד חזרות ההיקף נהיה אינסופי. כלומר אין סוף לאורך הקו.
למרות שההיקף גדול מאוד, השטח קטן וסופי. השטח הכולל שווה בערך ל־1.6 פעמים שטח המשולש ההתחלתי. (שטח = המקום שהצורה תופסת).
ממד האוסדורף (מדד שמראה כמה הצורה "מפהקת" בין קו לשטח) של פתית השלג הוא בערך 1.262. המספר הזה לא שלם, וזה דבר אופייני לפרקטלים.
תגובות גולשים