תורת שטורם-ליוביל חוקרת סוג מסוים של משוואות דיפרנציאליות וחיפוש תנאים שבהם יש להן פתרון שאינו הפתרון הטריוויאלי אפס. הפרמטר להיות עזם "ערך עצמי", מספר שמקושר לפונקציה שלא מתאפסות. הפתרונות האלה נקראים "פונקציות עצמאיות" או "פונקציות עצמית".
האופרטור שיופעל על הפונקציות לרוב הוא הרמיטי (אופרטור הרמיטי, פעולה שיש לה תכונה מתמטית שמבטיחה שהערכים העצמיים הם ממשיים). כשהמשוואה מוגדרת על קטע סגור [a,b] עם תנאי קצה מסוג לין־ריב (רציפים או פרופרציונליים לערך ולנגזרת), מתקבלת סדרה של ערכים עצמיים לכל אחד מהם פונקציה עצמית יחידה. אוסף הפונקציות הללו יוצר בסיס אורתוגונלי למרחב פונקציות רציפות על הקטע.
משוואת החום עוסקת בהעברת חום דרך הולכה או פעפוע. כדי לפתור אותה משתמשים לעתים קרובות ב"הפרדת משתנים" (שיטה שמניחה שהפתרון הוא מכפלה של פונקציות שכל אחת מהן תלויה רק במשתנה אחד).
באמצעות הפרדת משתנים מקבלים משוואות נפרדות בזמן ובמרחב. פתרון המרחב מסתדר כפונקציות גלים כמו סינוסים, והפתרונות בזמן הם פונקציות שמתכווצות עם הזמן (הטמפרטורה יורדת). עם תנאי שפה אפסיים בקצוות של קטע אורך מסוים, מתקבלת סדרת מצבים מתמטית דיסקרטית. כל מצב כזה מקנה תדירות (ערך עצמי) שמובילה לרכיב שדועך לפי קצב פרטי.
כל פתרון כללי של משוואת החום הוא צירוף ליניארי של הרכיבים הללו. את מקדמי הצירוף מוצאים משורת פורייה (פירוק של פונקציה לסכום סינוסים וקוסינוסים) שמתאימה לתנאי ההתחלה. במקרים אחרים של תנאי שפה שונים, מקבלים ספקטרום רציף והפתרון נקרא צירוף אינטגרלי של הרכיבים.
משוואת שרדינגר היא דוגמה נוספת שבה שיטת שטורם-ליובל מופיעה. המושגים והטכניקות דומים ולעזרתם נפתרות בעיות בפיזיקה ומתמטיקה שימושית.
תורת שטורם-ליוביל בוחנת משוואות שבהן מחפשים פתרון שלא שווה אפס. ערך עצמי זהו מספר הקשור לפתרון כזה. פונקציות עצמית הן הפתרונות האלה.
משוואת החום מסבירה איך חום זורם בחומר. פותרים אותה על ידי הפרדת משתנים. זה אומר מניחים שהפתרון הוא מכפלת שתי פונקציות. אחת תלויה במרחב ואחת בזמן.
בשיטה זו מקבלים צורות גלים פשוטות במרחב, כמו סינוסים, ופונקציות בזמן שקטנות יותר ויותר. כל צורת גל כזו דועכת בקצב משלה. כדי לבנות פתרון כללי, מחברים יחד את כל הגלים האלו.
גם במשוואת שרדינגר משתמשים ברעיונות אלה. כך פותרים בעיות בפיזיקה ובמדעים.
תגובות גולשים