נוסחת ההיפוך של מביוס

נוסחת ההיפוך של מביוס מקשרת בין שתי פונקציות אריתמטיות. היא אומרת: אם פונקציה F(n) היא סכום של ערכי פונקציה f על כל מחלקי n, אז אפשר לשחזר את f באמצעות פונקציית מביוס μ. הנוסחה הוכחה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס ב-1832.

נשתמש ב-\mathbb{N} עבור המספרים הטבעיים החל מ-1, וב-\mathbb{C} עבור המספרים המרוכבים. כותבים a|b כדי לומר ש-a מחלק את b.

פונקציית מביוס μ מוגדרת כך:
- μ(1)=1.
- μ(n)=0 אם קיים מספר ראשוני p שמרובעו p^2 מחלק את n.
- אם n הוא מכפלה של k פריימים שונים, אז μ(n)=(-1)^k (כלומר 1 או −1 לפי parities של k).

פונקציית היחידה ε מוגדרת על ידי ε(1)=1 ו-ε(n)=0 לכל n>1.

קונבולוציית דיריכלה (f * g) מוגדרת על ידי חיבור הערכים של f ו-g לגבי כל מחלקי n: (f * g)(n)=Σ_{d|n} f(n/d) g(d).

יהיו f ו-F פונקציות אריתמטיות. התנאים שקולים:
1) לכל n, F(n)=Σ_{d|n} f(d).
2) לכל n, f(n)=Σ_{d|n} μ(n/d) F(d).

נסמן ב-\mathbf{1} את הפונקציה הקבועה 1. השקולים הם:
1) F = f * \mathbf{1}.
2) f = F * μ.

תחת קונבולוציית דיריכלה, ε הוא איבר היחידה: h * ε = h לכל h. בנוסף μ ו-\mathbf{1} הם הופכיים: μ * \mathbf{1} = ε. לכן אם F = f * \mathbf{1} אז F * μ = f * \mathbf{1} * μ = f * ε = f. כך מתקבל הנוסח ההפוך.

קיימת נוסחה מקבילית עבור פונקציית ליוביל λ: λ(n)=Σ_{d^2|n} μ(n/d^2).

אם α היא פונקציה אריתמטית כפלית לחלוטין ו-F,G פונקציות על (0,∞) שמתאפסות ב-(0,1), אז התנאים שקולים:
1) G(x)=Σ_{n≤x} α(n) F(x/n).
2) F(x)=Σ_{n≤x} μ(n) α(n) G(x/n).

נוסחת מביוס עוזרת להחזיר פונקציה אחרת שמחוברת אליה על ידי סכומים על מחלקים.

מספרים טבעיים הם 1,2,3,... . כותבים a|b כדי לומר ש-a מחלק את b.

פונקציית מביוס μ:
- μ(1)=1.
- μ(n)=0 אם יש מספר ראשוני p כך ש-p^2 מחלק את n. (p^2 זה p כפול p.)
- אם n הוא מכפלה של k מספרים ראשוניים שונים, אז μ נותנת 1 או −1. היא 1 אם k זוגי, −1 אם k אי־זוגי.

פונקציית היחידה ε: ε(1)=1, ו-ε(n)=0 לשאר המספרים.

אם F(n) שווה לסכום של f על כל מחלקי n, אז אפשר למצוא את f בעזרת μ בסכום על המחלקים.

מחשיבים F ו-f בעזרת פעולה שמחברת ערכים לפי כל המחלקים. אם F = f * 1, אז f = F * μ.

μ ו-1 מתנהגים כהופכיים תחת הפעולה הזו. לכן כשיופעל μ על F שמקורה ב-f, מקבלים חזרה את f.

עבור פונקציית ליוביל λ יש זהות: λ(n)=Σ_{d^2|n} μ(n/d^2).