סגור אלגברי
הסגור האלגברי של שדה F הוא השדה הכי קטן שמכיל את F וכל השורשים של משוואות עם מקדמים מ־F. "שדה" זה קבוצה של מספרים שעובדת עם חיבור וכפל. "שורש של משוואה" הוא מספר שעושה את המשוואה שווה לאפס. בונים את הסגור על ידי הוספת כל הפתרונות של משוואות שמתקבלות מ־F. הסגור הוא ייחודי: אין עוד אחד שונה שנחשב לקט...
שדה סגור אלגברית
שדה הוא קבוצה של מספרים שעושים חיבור וחילוק. פולינום הוא ביטוי עם x וחזקות. שורש הוא מספר שעושה את הביטוי שווה לאפס. אם בשדה אין שורשים לפולינומים, לפעמים דברים גאומטריים נעלמים. לדוגמה, בקבוצת השברים הקו y=x לא נחתך במעגל x^2+y^2=1. החיתוך מופיע כשיוסיפו שורשים מתאימים. לכל שדה אפשר לבנות שדה...
חבורת גלואה האבסולוטית
חבורת גלואה האבסולוטית של שדה היא קבוצת כל ההחלפות (סימטריות) של מספרים מרחבה גדולה. הסגור הספרבילי הוא סגור שמכיל את כל ההרחבות שבהן השורשים מסודרים ולא כפולים. בשדות מסוימים זה שווה לסגור האלגברי. החבורה הזו חשובה בלימוד מספרים. קשה לדעת את החבורה הזאת בדיוק. זה קשה גם עבור המספרים ההרציונליים. יש...
המשפט היסודי של האלגברה
המשפט היסודי של האלגברה אומר דבר פשוט: כל פולינום שאינו קבוע חייב להחזיק שורש. פולינום הוא ביטוי עם חזקות של משתנה ומקדמים מספריים. שורש הוא מספר שמכניסים למשתנה וגורם לביטוי להיות אפס. עוד אפשר לומר: לכל מספר מרוכב יש מספר שמכניסים לפולינום ואז מקבלים את המספר הזה. מספר מרוכב הוא מספר שיכול להיות...
שדה המספרים המרוכבים
המספרים המרוכבים הופיעו לפני כמה מאות שנים. קרדאנו השתמש בהם כדי לפתור בעיות. בתחילה אנשים קראו להם "מדומים". מספר מרוכב הוא כמו זוג של שני מספרים רגילים. אחד מהם נקרא החלק הממשי. השני נקרא החלק המדומה. יש גם מספר מיוחד בשם i. כשמכפילים i בעצמו, מקבלים את המספר שליל אחד. כל מספר מרוכב אפשר לראות כ...
דמיון מטריצות
דמיון הוא יחס בין מטריצות ריבועיות בגודל אותו דבר. מטריצה (טבלה של מספרים) נקראת דומה לאחרת אם הן מייצגות את אותה פעולה על וקטורים. וקטור (רשימת מספרים) הוא מה שמקבלים כשמחליפים מקום או גודל. אומרים שמטריצות דומות אם יש דרך להמיר אחת לשנייה בעזרת מטריצה הפיכה. מטריצה הפיכה היא כזו שאפשר "לבטל" אותה...