סדרת קושי
סדרת קושי היא רשימה של מספרים. אומרים שסדרה היא קושי אם כשהולכים לאיברים שאחרי, הם מתקרבים זה לזה. איבר הוא מספר במיקום בסדרה. מרחב מטרי הוא מקום שבו מודדים מרחק בין נקודות. אם המרחב שלם, כל סדרת קושי מתקרבת למספר קרוב. המספרים הממשיים הם דוגמה למרחב כזה. יש מקומות שאינם שלמים. למשל בקטע (0,1) ה...
מרחב מטרי
מרחב מטרי הוא קבוצה שיש עליה דרך למדוד מרחקים. הדרך הזאת נקראת מטריקה. מטריקה אומרת כמה שתי נקודות קרובות או רחוקות. הישר הוא דוגמה פשוטה: המרחק בין מספרים מוכר לכולנו. גם המישור או המרחב סביבנו הם דוגמה. על כדור אפשר למדוד מרחק על ידי הקשת הקצרה שמחברת שתי נקודות. אפשר גם להגדיר מטריקה פשוטה: מרחק...
מרחב מטרי שלם
מרחב מטרי שלם הוא מרחב שבו כל סדרת קושי מתכנסת לנקודה. סדרת קושי היא סדרה שהמרחקים בין איבריה נעשים קטנים מאוד. דוגמה פשוטה: המספרים הממשיים שלמים. המספרים הרציונליים לא שלמים. יש רציונליים שמתקרבים למספר שלא רציונלי, בשם שורש 2. השלמה היא מילוי החורים במרחב. מוסיפים נקודות כדי שכל סדרה תקבל גבול...
משפט נקודת השבת של בנך
משפט בנך אומר שיש נקודה שקוראים לה נקודת שבת. זו נקודה שבה f נותנת חזרה את אותה נקודה. המשפט חשוב במתמטיקה מכיוון שהוא מבטיח שכל תהליך מסוים ימצא נקודה כזו. אם עובדים במרחב שבו מודדים מרחקים ויש פונקציה שמקטינה תמיד את המרחק בין נקודות בערך קבוע q קטן מ־1, אז קיימת נקודת שבת אחת בלבד שמקיימת f(x)=x...
שדה סדור שלם
המתמטיקה מנסה להסביר מה מיוחד במספרים הממשיים. רוצים לדעת אילו תכונות חשובות להם. הממשיים הם "שדה". שדה זה מקום שמאפשר חיבור וכפל. יש גם סדר ביניהם. סדר פירושו שאפשר לומר מי גדול ומי קטן. הרציונליים (שברים) הם גם שדה וסדור. אך בהם יש "חורים". למשל, אין בהם בהכרח שורש ריבועי למספרים מסוימים. כדי ...
סדרה (מתמטיקה)
סדרה היא רשימה מסודרת של פריטים. כל פריט מקבל מקום מספרי. סדרה יכולה להיגמר או להמשיך בלי סוף. סדרה שסופית נקראת גם רשימה. כותבים איברים בדרך כלל כך: a1,a2,a3,… . המספר אחרי האות מראה את המיקום. התכנסות פירושה שהאיברים מתקרבים לערך מסוים. חסומה משמעותה שהמספרים לא גדלים בלי סוף. סדרת קושי היא כ...
מרחב חסום לחלוטין
מרחב מטרי הוא מקום שבו מודדים מרחקים בין נקודות. מרחב חסום לחלוטין הוא כזה שאפשר לכסות אותו בכמה כדורים בודדים לכל רדיוס קטן. כל מרחב חסום לחלוטין הוא גם חסום. דוגמה: במטריקה דיסקרטית בין שני מספרים שונים המרחק הוא 1. המרחב הזה חסום, אבל לא חסום לחלוטין. למה? כי אם הכדורים קטנים מאוד, כל כדור יכיל ...