סדרה (מתמטיקה)

סדרה היא רשימה מסודרת של איברים. כל איבר נקבע לפי מיקומו ברשימה. סדרה יכולה להיות סופית, או אינסופית. סדרה סופית נקראת גם וקטור או רשימה סדורה.

מקובל לכתוב איברי סדרה כ־a_1,a_2,a_3,… ולהשתמש ב־a_n כדי לציין את האיבר במקום ה־n. האות a מסמלת את הסדרה, ו־n הוא האינדקס, כלומר המספר הסידורי של האיבר. למשל בסדרה של המספרים הטבעיים מתקיים a_1=1,a_2=2,a_3=3,

באופן פורמלי, סדרה אינסופית היא פונקציה מהמספרים הטבעיים לערכי הסדרה. כך לכל מספר טבעי מתאים איבר אחד, ולעתים אותו ערך יכול להופיע יותר מפעם אחת.

בסדרות יש מושגים חשובים באנליזה. התכנסות מתארת מה קורה לאיברים כאשר האינדקס גדל לאינסוף. אם לסדרה יש גבול, אומרים שהיא מתכנסת. סדרה חסומה היא סדרה שכל מרחק איבריה מנקודה מסוימת קטן ממספר ממשי R. סדרת קושי (סדרה קושה) היא סדרה שבה המרחק בין שני איברים הופך קטן מאוד כשהאינדקסים גדלים.

כאשר האיברים הם מספרים ממשיים, מגדירים מונוטוניות. סדרה עולה ממשית אם כל איבר קטן מהאיבר הבא. סדרה עולה (לא יורדת) אם כל איבר לא גדול מהאיבר הבא. באופן דומה מגדירים ירידה. אם הסדרה עולה וגם יורדת, היא חייבת להיות קבועה, כלומר כל האיברים שווים. לא כל סדרה מונוטונית, אבל בכל סדרה אפשר למצוא תת-סדרה מונוטונית. טור הוא סדרת סכומים חלקיים של סדרה נתונה.

תת-סדרה נוצרת על ידי בחירת איברים מסדרה אחרת ושמירה על הסדר שלהם. פורמלית בוחרים סדרה עולה של אינדקסים n_k ואז מקבלים את a_{n_k}. לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה ממשית חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. מבחינה טופולוגית, זה קשור לרעיון שקבוצות חסומות וסגורות בישר הן קומפקטיות סדרתית.

יש סוגים שקל לתאר להם את האיבר הכללי. בסדרה חשבונית כל איבר מתקבל על ידי חיבור מספר קבוע (הפרש קבוע). בסדרה הנדסית כל איבר מתקבל על ידי כפל במספר קבוע (מנה קבועה). סדרה פולינומית היא סדרה שבה האיבר הכללי ניתן על ידי פולינום של n.

כדי לזהות סדרה פולינומית נשתמש בהפרשים: עוברים לסדרת ההפרשים של האיברים, ואז שוב אם צריך. כל מעבר מפחית את דרגת הפולינום. לכן, אם ידועה דרגת הפולינום, אפשר למצוא אותו על ידי בדיקת ההפרשים.

דוגמה: הסדרה -2,-2,0,4,10,…
ההפרשים הם 0,2,4,6,… זו סדרה חשבונית. חיבור איברי ההפרשים נותן שניתן לכתוב את a_n = n^2 - 3n.

הקבוצה של כל הסדרות שערכיהן משדה נתון מהווה מרחב וקטורי מעל אותו שדה. חיבור סדרות מוגדר לפי איבר־איבר, וכפל בסקלר מוגדר גם הוא איבר־איברית.

סדרה היא רשימה מסודרת של פריטים. כל פריט מקבל מקום מספרי.

סדרה יכולה להיגמר או להמשיך בלי סוף. סדרה שסופית נקראת גם רשימה.

כותבים איברים בדרך כלל כך: a1,a2,a3,… . המספר אחרי האות מראה את המיקום.

התכנסות פירושה שהאיברים מתקרבים לערך מסוים. חסומה משמעותה שהמספרים לא גדלים בלי סוף. סדרת קושי היא כזאת שאיברים שלה נעשים קרובים אחד לשני.

מונוטונית אומרת שהרשימה רק עולה או רק יורדת. אם כל איבר זהה, קוראים לזה סדרה קבועה.

תת-סדרה היא כשבוחרים חלק מהאיברים לפי הסדר. אם המספרים לא גדלים בלי סוף, אפשר למצוא תת-סדרה שמתקרבת לערך.

סדרה חשבונית: מוסיפים כל פעם את אותו מספר.
סדרה הנדסית: מכפילים כל פעם באותו מספר.
סדרה פולינומית: כל איבר מתקבל לפי כלל שניתן בעזרת המספר הסידורי.

דוגמה קצרה: הסדרה -2, -2, 0, 4, 10.
אם בודקים את ההפרשים מקבלים 0,2,4,6. מזה מגלים כלל פשוט לאיבר ה־n: הוא שווה ל"n בריבוע פחות שלוש פעמים n".

אפשר לחבר שתי סדרות. אפשר גם לכפול סדרה במספר. כך נוצר מרחב שבו עובדים עם סדרות.