אקסיומות ההסתברות

באקסיומות ההסתברות מגדירים תנאים שפונקציה חייבת לקיים כדי לתאר הסתברויות. הנוסח המקובל הוא של קולמוגורוב, אם כי יש אקסיומטיזציות אחרות. באופן אינטואיטיבי אומרים: לפחות אחד מהאירועים האפשריים חייב לקרות, וההסתברות של איחוד של אירועים זרים שווה לסכום ההסתברויות שלהם.


יהא (Ω, 𝓕, P) מרחב הסתברות. Ω הוא מרחב המדגם, קבוצת כל התוצאות האפשריות. 𝓕 היא סיגמא-אלגברה (קבוצה של מאורעות שסגורה לאיחודים סופיים ובשלמות), כלומר רק מאורעות שייכים ל-𝓕 מוגדרים מבחינת הסתברות. הפונקציה P צריכה לקיים שלוש תכונות עיקריות:

1. לכל E ב-𝓕 מתקיים P(E) ≥ 0. כלומר הסתברויות אינן שליליות.
2. P(Ω) = 1. כלומר בהחלט יקרה משהו מתוך מרחב המדגם.
3. סיגמא-אדיטיביות: אם E1, E2, ... הם מאורעות זרים בזוגות (אי-חפיפה), אז P(⋃_{i=1}^∞ E_i) = Σ_{i=1}^∞ P(E_i). משמעותה: לאיחוד של אוסף מנייה של מאורעות זרים שווה סכום ההסתברויות שלהם.


מהאקסיומות נגזרות תכונות שימושיות. למשל, לכל שני מאורעות A ו-B מתקיים:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
ניתן להבין זאת על ידי פירוק האיחוד לשלוש תת־קבוצות הזרות: החלק הייחודי של A, החלק הייחודי של B, והחלק המשותף שלהם, ואז לסכום את ההסתברויות בהתאם.

אקסיומות ההסתברות הן כללים פשוטים שמגדירים איך נותנים מספרים להסתברות. המפורסם שבהן נקרא קולמוגורוב.


Ω הוא מרחב המדגם, כל התוצאות האפשריות. 𝓕 היא סיגמא-אלגברה (רשימת המאורעות שאנו מחשבים להן הסתברות). P היא פונקציה שמאגדת את המספרים האלה. הכללים הם:

- לכל אירוע ההסתברות לא שלילית. זה אומר P(E) ≥ 0.
- ההסתברות שמשהו מתוך כל התוצאות יקרה שווה 1. זה P(Ω)=1.
- אם יש סדרה של אירועים שאינם חופפים, אז ההסתברות שאחד מהם יקרה היא סכום ההסתברויות שלהם.


דבר חשוב שנגזר משם: אם יש שני אירועים A ו-B, ההסתברות שאחד מהם יקרה היא:
הסתברות A ועוד הסתברות B פחות ההסתברות ששניהם יקרו.
זה נובע מפירוק האירועים לחלקים שאינם חופפים.