פירוק לגורמים של מספר שלם
פירוק לגורמים means לחלק מספר למספרים קטנים יותר שמוכפלים יחדיו. מספרים ראשוניים הם אבנטי־בניין, אי אפשר לחלק אותם עוד. לכל מספר גדול מ-1 יש פירוק ראשוני יחיד. לדוגמה: 6936 מפורק כ-2^3·3·17^2. זה אומר 6936 עשוי ממכפלות של 2,3 ו-17. ככל שהמספר גדול יותר, קשה יותר לפרקו. זה שימושי במיוחד בהצפנה. מער...
תחום ראשי
תחום ראשי הוא סוג של חוג שבו כל אידיאל הוא "ראשי". אידיאל ראשי נוצרת על ידי איבר אחד בלבד. זאת פירושה: כל האלמנטים בו הם כפל של אותו איבר. בגלל זה הרבה חישובים בחוגים אלה פשוטים יותר. דוגמאות ידועות הן Z (המספרים השלמים), Z[i] (המספרים הגאוסיים), וגם חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה. לא כל חוגים כ...
הצפנת רבין
צופן רבין הומצא ב-1979 על ידי מיכאל רבין. זו דרך להצפין הודעות בעזרת שני מפתחות. מפתח אחד נפתח לכולם, והמפתח השני נשאר סודי. הרעיון הקשה: ההגנה של הצופן נשענת על כך שקשה לפרק מספר גדול לשני מספרים ראשוניים. פירוק כזה זה למצוא את המספרים הפשוטים שמכפילים יחד את המספר הגדול. ממירים את ההודעה למספר...
נפה ריבועית
הנפה הריבועית היא שיטה למצוא גורם של מספר גדול. היא טובה למספרים עם כ־40 עד כ־100 ספרות. קארל פומרנץ פיתח אותה ב־1981. הרעיון המרכזי קצר ופשוט. מחפשים שני מספרים x ו‑y. כשמכפילים כל אחד בעצמו מקבלים שתי תוצאות שיש להן את אותה שארית בחלוקה ב‑n. אם x ו‑y אינם אותו דבר בכל המשמעות אפשר לחשב את המחלק ...
פונקציית מחלקים
פונקציית מחלקים עוסקת במחלקים של מספרים. הפונקציה לוקחת מספר וחושבת סכום של כל המחלקים שלו, כאשר אפשר להרים כל מחלקה בחזקה x. אם x=0 היא סופרת כמה מחלקים יש. אם x=1 היא מסכמת את כל המחלקים. מספר ראשוני הוא מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים: 1 והמספר עצמו. במקרה כזה סכום המחלקים הוא p+1. כשמפרקים מספר ...
מספר סמית
מספר סמית הוא מספר שסכום הספרות שלו שווה לסכום הספרות של המספרים שמכפילים יחד כדי לקבל אותו. ספרות הן הסימנים שמרכיבים מספר, למשל 2 או 0. למשל, 202: הספרות הן 2, 0 ו-2 וסכומן הוא ארבע. הפירוק שלו הוא 101 וכפול 2. גם ספרותיהם של 101 ו-2 מסתכמות בארבע. לכן זה מספר סמית. מספרים ראשוניים אינם נחשבים ...
תבנית:מספר שלם
זה תבנית שמסבירה איך להציג מספר שלם. מספר שלם הוא מספר בלי שברים. יש שדות שונים: "כתיב עשרוני" כותבים בבסיס 10. "במילים" כותבים את המספר במילים. "פירוק לגורמים" מפרק את המספר למכפלות של מספרים קטנים. יש גם כתיבה ברומיות, בבינארי (בסיס 2) ובהקסדצימלי (בסיס 16)....
סיבוכיות זמן
סיבוכיות זמן אומרת כמה צעדים צריך אלגוריתם כשהקלט גדול יותר. לא מודדים בשניות, כי מחשבים שונים עושים צעדים אחרת. לכן מסתכלים על איך מספר הצעדים גדל. לוגריתמי (לוגריתם הוא פעולה שמקטינה גדילה) אומר שהמספר של הצעדים גדל לאט מאוד. דוגמה: חיפוש בחצי ברשימה מסודרת. זה מהיר. ליניארי אומר שהצעדים שווים ...
Co-NP
co-NP הוא אוסף בעיות שהן ההפך של הבעיות ב־NP. NP הן בעיות שיש להן הוכחה קצרה שאפשר לבדוק מהר. זמן פולינומי הוא זמן חישוב סביר. דוגמה פשוטה: יש קבוצה של מספרים. שואלים אם יש תת־קבוצה שסכומה אפס. אם כן, נותנים את הרשימה ובודקים את הסכום. ההפך שואל האם אין בכלל תת־קבוצה שסכומה אפס. גם לזה יש הוכחה שני...
מספר ראשוני
מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ־1. הוא מתחלק רק ב־1 ובעצמו. לדוגמה: 2, 3 ו־5. מספר שאפשר לחלקו למספרים אחרים נקרא פריק. פריק הוא מספר שאינו ראשוני. מספרים ראשוניים הם אבני־בניין. מכלם אפשר להרכיב כל מספר אחר בעזרת כפל. לכן הם חשובים במתמטיקה ובמחשב. אוקלידס הראה שאי אפשר למנות את כל הראשוניים. הו...
עד כדי (מתמטיקה)
"עד כדי" משמש כשמשווים דברים ומתעלמים מפרטים קטנים. "עד כדי סימן" אומר שהגודל זהה, אולי הסימן שונה. לפעמים אומרים ששדות או מבנים אחרים זהים מבחינת הצורה שלהם, למרות שהם שונים במראה. במספרים נכון שאפשר לפרק כל מספר לגורמים ראשוניים בדרך יחידה, רק סדר הגורמים יכול להשתנות. במדע משתמשים בביטוי גם כשיש...
חוג השלמים של גאוס
חוג השלמים של גאוס הוא קבוצת המספרים a+bi. כאן a ו-b הם מספרים שלמים, ו-i הוא מספר מדומה שעבורו i^2 = -1. ("מספר מדומה" פירושו סימן מתמטי שחוקי החיבור והכפל עובדים עליו.) יש פונקציה שנקראת נורמה. הנורמה של a+bi היא a^2+b^2. זוהי דרך לומר "גודל" של המספר. החוג מאפשר לחלק ולהשתמש באלגוריתם כדי למצוא מ...
RSA
RSA היא שיטה להסתיר הודעות. לה כל מי יכול לדעת מפתח אחד. רק הבעלים של מפתח אחר יכול לפתוח את ההודעה. מפתחות אלה שונים זה מזה. זה נקרא "אסימטרי". האבטחה מבוססת על קושי לפרק מספר גדול לשני מספרים ראשוניים. RSA הומצא ב־1977 על ידי ריבסט, שמיר ואדלמן. מאז משתמשים בו באינטרנט ובמסחר אלקטרוני. מדריכים ב...
מספר פרמה
מספר פרמה הוא מספר מיוחד שבונים כך: מעלים את 2 בחזקות של 2 ואז מוסיפים 1. לדוגמה, החמישה הראשונים הם 3, 5, 17, 257 ו-65537. "ראשוני" פירושו שהמספר נחלק רק ב-1 ובעצמו. פרמה חשב שכל המספרים האלה יהיו ראשוניים. אחרי כן אוילר גילה שמספר גדול אחר, 4294967297, מתחלק ב-641 וב-6700417. זאת אומרת שהמספר לא ...
מספר פריק במיוחד
מספר פריק במיוחד או אנטי־ראשוני הוא מספר שיש לו יותר מחלקים מכל מספר קטן ממנו. מחלקים הם מספרים שמתחלקים בו בלי שארית. כמה דוגמאות קטנות: 1, 2, 4, 6, 12, 24. יש אינסוף כאלה. אם יש מספר כזה שנקרא n, אז ל-2n יש יותר מחלקים. לכן תמיד אפשר למצוא מספר גדול יותר שהוא גם פריק במיוחד. כדי לדעת כמה מחלקים...
פונקציית מביוס
פונקציית מביוס נקראת μ(n). זוהי חוק שמקבל מספר טבעי ומחזיר מספר אחר. אם ל-n יש גורם ריבועי, כלומר מספר שהוא כפולה של מספר בעצמו, אז μ(n)=0. אם אין כזה גורם, סופרים כמה ראשוניים שונים מחלקים את n. אם המספר הזה זוגי μ(n)=1. אם הוא אי־זוגי μ(n)=-1. למשל μ(1)=1 ו-μ של ראשוני הוא -1. (ראשוני הוא מספר ...