חוג השלמים של גאוס

חוג השלמים של גאוס הוא קבוצת המספרים a+bi שבהם a ו-b הם שלמים, ו-i^2 = -1. אלה הם ה"שלמים" בשדה הרציונלי עם i. על החוג מוגדרת נורמה N(a+bi)=a^2+b^2. הנורמה היא פונקציה כפלית ושווה לריבוע הערך המוחלט של המספר.
החוג הוא אוקלידי ביחס לנורמה. משמעות הדבר היא שניתן לבצע חילוק עם שארית ולחשב מחלק משותף מקסימלי בעזרת אלגוריתם אוקלידס. מכאן נובע פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.

איבר אי-פריק הוא כזה שלא ניתן לפרקו בלי שאחד הגורמים יהיה הפיך. בחוג זה אי-פריקים הם גם ראשוניים. לא כל המספרים הראשוניים בשלמים הרגילים נשארים ראשוניים כאן. למשל, 5 מתפרק ל-(2+i)(2-i), ולכן הוא פריק בחוג הגאוסי.
ניתן לחלק הראשוניים לשלוש קבוצות עקרוניות: 2 הוא ראשוני מסועף; מספרים ראשוניים שפשוטים במודולו 4 (כלומר שווים ל-1 מודולו 4) "נפרדים" ונהיים שני ראשוניים בגאוס; ושאר הראשוניים נותרים בלתי מפורקים והנורמה שלהם שווה p^2.
הקשר הזה קשור גם לפתירת המשוואה x^2+1 ≡ 0 (מודולו p): יש פתרון בדיוק במקרים המתאימים.

שני שלמים גאוסיים z1 ו-z2 קונגרואנטיים מודולו z0 אם z1-z2 היא כפולה של z0. יחס זה יוצר מחלקות שאריות: קבוצות של איברים עם אותה שארית בחילוק ב-z0. חיבור וכפל עובדות על מחלקות השאריות בדיוק כמו בשלמים הרגילים.

(הטקסט המקורי הכיל דוגמאות; כאן נשמר הרעיון שהמספרים יכולים להתפרק ולהתנהג אחרת מאשר בשלמים הרגילים.)

ניתן לראות את השלמים הגאוסיים כסריג במישור המרוכב. וקטור בסיס אחד הוא z0, והשני ניצב לו ובאותו אורך, ולכן התאים הם ריבועים. מספר מחלקות השאריות מודולו z0 שווה למספר נקודות הסריג בתא יחידה, כלומר לנורמה N(z0)=a^2+b^2.

קרל פרידריך גאוס הציג את החוג במאמרו משנת 1832. הוא השתמש בשלמים הגאוסיים כדי לנסח ולהבהיר את חוקי ההדדיות, ובמיוחד את ההדדיות דו-ריבועית (מעלה רביעית). בגישה הזו ביטויים על שלמים מרוכבים הפכו טבעיים יותר מאשר ניסוחים על שלמים רגילים. בגין עבודתו טבע גאוס כמה מושגים שהפכו לסטנדרט בתורת המספרים האלגברית.

מרבית הבעיות הפתוחות קשורות להתפלגות הראשוניים של גאוס במישור, כלומר לשאלה היכן נמצאים הראשוניים כנקודות בסריג.

חוג השלמים של גאוס הוא קבוצת המספרים a+bi. כאן a ו-b הם מספרים שלמים, ו-i הוא מספר מדומה שעבורו i^2 = -1. ("מספר מדומה" פירושו סימן מתמטי שחוקי החיבור והכפל עובדים עליו.)
יש פונקציה שנקראת נורמה. הנורמה של a+bi היא a^2+b^2. זוהי דרך לומר "גודל" של המספר.
החוג מאפשר לחלק ולהשתמש באלגוריתם כדי למצוא מחלקים משותפים. לכן כל מספר מתפרק בצורה יחידה לגורמים ראשוניים.

"ראשוניים" הם כמו אבני בניין שלא מפרקים אותן. בחוג הזה, חלק מהמספרים הראשוניים בשלמים הרגילים מפורקים. לדוגמה, 5 מתפרק ל-2+i ול-2-i. יש שלוש קבוצות עיקריות של ראשוניים, כולל ה-2 שמיוחד.

שני מספרים גאוסיים הם שווים מודולו z0 אם הם נותנים את אותה שארית בחילוק ב-z0. המחלקות הן קבוצות של מספרים עם אותה שארית. אפשר לחבר ולכפול מחלקות כאלה.

את המספרים אפשר לראות כרשת (סריג) של נקודות במישור. תא אחד ברשת הוא ריבוע שהווקטור שלו הוא z0 והווקטור השני ניצב ואותו אורך. מספר המחלקות שווה למספר נקודות בתא, שזה a^2+b^2.

גאוס הציג את הרעיון ב-1832. הוא השתמש בו כדי להבין חוקים חשובים על פתרונות משוואות חזקות, ולסדר מושגים חדשים בתורת המספרים.

עדיין חוקרים היכן בדיוק נמצאים הראשוניים בסריג, כלומר איך הם מתפזרים במישור.