תכונת ארכימדס
תכונת ארכימדס אומרת שהמספרים הטבעיים לא חסרים. המספרים הטבעיים הם 1, 2, 3, ... . במבנה שיש בו תכונה זו, לכל מספר יש מספר טבעי גדול ממנו. זה מונע הופעה של מספרים מאוד קטנים שקוראים להם אינפיניטסימלים. אינפיניטסימל הוא מספר קטן מאוד, כמעט אפס. דוגמאות פשוטות: השדה של המספרים הרציונליים והשדה של המספ...
הבעיה השלישית של הילברט
הילברט הציב ב-1900 בעיה על חיתוך וצירוף של צורות תלת־ממדיות. הוא שאל אם שני גופים עם אותו נפח תמיד ניתנים לחיתוך לאותם חלקים. בשביל שטחים במישור יש כלל פשוט: אם שתי צורות מורכבות מאותם חלקים, אז יש להן אותו שטח. דוגמה קלה: אפשר לחתוך מקבילית ולסדר את החתיכות כך שיצא מלבן עם אותו בסיס וגובה. אבל בנ...
שדה ארכימדי
שדה ארכימדי הוא סוג של מערכת מספרים. שדה זה לא יכול להכיל מספר שהוא גדול מכל מספר טבעי. שדה זה דומה לקבוצה של מספרים שיש בה חיבור וכפל. סדור אומר שיש בה סדר בין המספרים. דוגמה: המספרים הממשיים הם ארכימדיים. שדה טורי לורן הוא לא ארכימדי. השם מגיע מארכימדס. הוא הראה שאפשר להשוות קטעים על ידי העתקתם...
שדה סדור שלם
המתמטיקה מנסה להסביר מה מיוחד במספרים הממשיים. רוצים לדעת אילו תכונות חשובות להם. הממשיים הם "שדה". שדה זה מקום שמאפשר חיבור וכפל. יש גם סדר ביניהם. סדר פירושו שאפשר לומר מי גדול ומי קטן. הרציונליים (שברים) הם גם שדה וסדור. אך בהם יש "חורים". למשל, אין בהם בהכרח שורש ריבועי למספרים מסוימים. כדי ...