הבעיה השלישית של הילברט

הבעיה השלישית מתוך 23 בעיות שהציג דויד הילברט בשנת 1900 עוסקת ביסודות האקסיומטיים של גאומטריית המרחב. זו הייתה הבעיה הראשונה של הילברט שנפתרה, על ידי מקס דֶן, עוד לפני שהבעיה הוצגה בקונגרס.

הרעיון הבסיסי הוא שמושגי השטח והנפח הם יחסיים. אם שתי צורות במישור מורכבות מאותם חלקים, אז הן בעלות אותו שטח, גם אם החלקים מחוברים אחרת. כך הוכיחו שלפוליגונים פשוטים עם אותו שטח אפשר לפרק למספר סופי של חלקים זהים בזוגות.

דוגמה ידועה: מקבילית ניתנת לפריקה למשולש וטרפז, ואז להרכבה למלבן עם אותו בסיס וגובה. אבל במקרים כלליים לא תמיד הגובה פוגע בתוך הצלע, ויש צורך להשתמש בתכונת ארכימדס של המספרים כדי להבטיח פירוק סופי.

הילברט שאל אם עובדה דומה נכונה עבור נפחים: האם כל שני פאונים (גופים תלת־ממדיים) בעלי אותו נפח ניתנים לפירוק למספר סופי של חלקים המתאימים בזוגות? עד אז השוויון בנפחים הוסבר בדרך של מיצוי, פירוק למספר גדל של חלקים שמיד מתקרב למדידה אינטגרלית, והילברט חשד שאולי אי־אפשר להסתדר בלי אלמנט אינסופי.

מקס דן פתר את הבעיה במהרה. הוא המציא אינווריאנט, מאפיין ששמור תחת פירוק, שמקושר לקצוות של הפאון. לכל קצה יש שני הערכים: אורך הקצה והזווית בין שתי הפאות הנפגשות בו (זווית בין משטחים). דן בנה פונקציה שמקיימת תכונות הוספתיות מסוימות, ואז הגדיר "משקל" של פאון כסכום הערכים האלה על כל הקצוות.

תכונות הפונקציה מבטיחות שמשקלו של הפאון נשאר כשהוא מפורק. לכן, אם לשני פאונים יש משקלים שונים, אי־אפשר לפרק כל אחד מהם למספר מרכיבים החופפים בזוגות. דן גם הציג דוגמה קונקרטית: שני ארבעונים (פאונים עם ארבע פאות) שמקורם במשולש ישר־זווית שווה שוקים, שהם בעלי אותו נפח אבל משקל שונה. מכאן שלא ניתן להפוך את אחד לשני על ידי חיתוך והרכבה פונטית, וכך הוכחה שאי־כליות כזו קיימת.

הילברט הציב ב-1900 בעיה על חיתוך וצירוף של צורות תלת־ממדיות. הוא שאל אם שני גופים עם אותו נפח תמיד ניתנים לחיתוך לאותם חלקים.

בשביל שטחים במישור יש כלל פשוט: אם שתי צורות מורכבות מאותם חלקים, אז יש להן אותו שטח. דוגמה קלה: אפשר לחתוך מקבילית ולסדר את החתיכות כך שיצא מלבן עם אותו בסיס וגובה.

אבל בנפחים זה מסובך יותר. בעבר חשבו שמודדים נפח בעזרת פירוקים שממשיכים וקטנים יותר ויותר. הילברט חשב שאולי צריך חלקים אינסופיים כדי לעשות זאת, ושאל אם אפשר תמיד לפרק לשתיים מאותן חתיכות.

מקס דן פתר את הבעיה מהר. הוא המציא "משקל" לגופים. כל קשת בגוף יש לה אורך ומד זווית בין שתי הפאות שבאות אחת אל השנייה. דן שילב את הערכים האלה ל"משקל" אחד.

המשקל נשאר אותו דבר גם אחרי שרוסקים את הגוף לחלקים. לכן, אם לשני גופים יש משקלים שונים, אי אפשר לחתוך אותם לחלקים זהים. דן נתן דוגמה של שני ארבעונים עם אותו נפח אבל משקל שונה. זה הראה שלא תמיד אפשר לחתוך ולהרכיב מחדש כל שני גופים שווי נפח.