אקסיומת הקבוצה האינסופית

אקסיומת הקבוצה האינסופית אומרת שקיימת קבוצה אינסופית. הניסוח המקובל לא משתמש במספרים מושאלים מראש. הוא קובע שיש קבוצה A כך שהקבוצה הריקה \(\emptyset\) היא איבר של A, ולכל איבר a ב‑A גם ה'עוקב' של a שייך ל‑A. פונקציית העוקב S מוגדרת כך: S(a)=a\cup\{a\}. כלומר העוקב של קבוצה הוא הקבוצה שמכילה את כל איברי a וגם את a עצמו.

בבניית פון־נוימן מקשרים את האקסיומה לקבוצת המספרים הטבעיים. בקונסטרוקציה הזו קוראים לקבוצה הריקה "אפס". קבוצת הטבעיים נוצרת בעזרת פעולת העוקב החוזרת.

אקסיומת האינסוף עצמאית משאר אקסיומות ZFC, בהנחה שהן עקביות. ניתן לבנות מודל של ZFC שבו כל האקסיומות מתקיימות פרט לאקסיומת האינסוף. מודל כזה הוא אוסף כל הקבוצות הסופיות התורשתיות, המסומן בדרך כלל כ‑V_\omega. אוסף זה כולל רק קבוצות סופיות, ובכך לא מקיים את אקסיומת האינסוף.

האקסיומה מבטיחה גם את קיומו של המונה האינסופי הראשון, 0א (אָלֶף אֶפֶס), המונה שמייצג את גודל קבוצת המספרים הטבעיים. מנקודת מבט זו, 0א מתנהג כמו מונה גדול. לכן יש מתמטיקאים שרואים באקסיומות על קיום מונים גדולים סוג של חיזוק לאקסיומת האינסוף.

אקסיומת האינסוף אומרת שיש קבוצה אינסופית. זה אומר שקיימת קבוצה A עם הקבוצה הריקה בתוכה. הקבוצה הריקה נקראת "אפס". לכל איבר בקבוצה יש גם "עוקב". העוקב של קבוצה הוא הקבוצה שמכילה את כל האיברים שלה וגם את הקבוצה עצמה.

בדרך הזו בונים את המספרים הטבעיים. הם מתחילים מאפס וכל פעם מוסיפים עוקב.

אפשר גם להחליט שאין קבוצה אינסופית. יש מבנה שבו כל הקבוצות סופיות. מבנה כזה מקיים את כל הכללים החוזיים חוץ מהאינסוף.

האקסיומה גם מבטיחה קיום מונה אינסופי ראשון שנקרא 0א או "אלף אפס". יש מתמטיקאים שחושבים שמילים על מונים מאוד גדולים מחזקות את האקסיומה הזו.