בעיית וייטהד

בעיית וייטהד היא שאלה בתורת החבורות. השאלה היא האם כל חבורה אבלית A שעבורה Ext^1(A,\Z)=0 היא חבורה אבלית חופשית. כאן Ext^1 הוא הפונקטור הנגזר Ext, שמודד חסמים טכניים להרחבות של חבורות.

תנאי Ext^1(A,\Z)=0 משמעותו שכל הרחבה 1→\Z→B→A→1 מתפצלת. כלומר: לכל אפימורפיזם f:B→A עם גרעין ציקלית אינסופית, קיים מונומורפיזם g:A→B כך ש‑f∘g=id_A. חבורות שעומדות בתנאי זה נקראות חבורות וייטהד.

ג'ון וייטהד הציג את הבעיה בשנות ה‑50, בהקשר לבעיות אחרות באלגברה. לתשובה חיובית הוכיחו עבור חבורות בנות מנייה זמן קצר אחרי כן. עם זאת, ההתקדמות לחבורות גדולות יותר הייתה איטית והבעיה נחשבה מרכזית בתורת החבורות.

ב‑1973 הראה שהרן שלח שהבעיה בלתי תלויה באקסיומות ZFC של תורת הקבוצות. במילים אחרות, לא ניתן להוכיח או להפריך את הטענה מתוך אקסיומות אלה בלבד. שלח הראה תוצאות על עקביות של הוספת אקסיומת הבנייה, וכן ש־אקסיומת מרטין היא עקבית עם שלילת השערת הרצף. יחד, התוצאות מראות אי‑כריעה של הבעיה.

תגלית זו הייתה מפתיעה, כי דוגמאות קודמות לאי‑כריעויות היו נפוצות בעיקר בתורת הקבוצות. ב‑1980 הראה שלח שגם אם מניחים את השערת הרצף, הבעיה נשארת בלתי כריעה. התוצאות מדגישות שהתיאוריה של חבורות אבליות שאינן בנות מנייה תלויה בבחירה של אקסיומות תורת הקבוצות.

בעיית וייטהד היא שאלה במתמטיקה על חבורות. חבורה אבלית היא קבוצה עם חוק חיבור שבו הסדר לא משנה. חבורה חופשית היא חבורה פשוטה מאוד.

השאלה שואלת: אם לחבורה אבלית יש תכונה בשם Ext^1(A,\Z)=0, האם היא תמיד חופשית? כאן Ext^1 הוא שם לכלי טכני לבדיקת הרחבות.

ג'ון וייטהד הציע את השאלה בשנות ה‑50. תחילה מצאו שזה נכון לחבורות קטנות יותר. אבל לגבי חבורות גדולות זה נשאר קשה.

בשנות ה‑70 הראה גם שלח שאי אפשר להחליט את השאלה מתוך האקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות. "אי-כריעה" פירושו שאי אפשר להוכיח אם הטענה נכונה או לא מתוך אותם חוקים. ב‑1980 הוכיח שלח גם שהתוצאה נשארת כזו גם תחת הנחות נוספות.

התגלית הראתה שלפעמים חוקי הבסיס של המתמטיקה משפיעים על התשובות לבעיות גדולות.