אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובאנליזה פונקציונלית, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש לנורמה אינטגרלית. נורמה אינטגרלית היא מדד לגודל פונקציה שמבוסס על האינטגרל שלה.

אם f היא פונקציה אינטגרבילית בקטע [a,b] (כלומר אפשר לחשב לה אינטגרל), אזי

\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x.

הערה: אם f אינטגרבילית על [a,b], גם |f| אינטגרבילית שם.

לפי הגדרת ערך המוחלט, לכל x ב-[a,b] יש -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|. מאחר שהאינטגרל שומר על סדר (מונוטוניות), מקבלים

\int_a^b -|f(x)| \,\mathrm{d}x \le \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x.

בהשתמשות בלינאריות האינטגרל אפשר להוציא את הסימון השלילי, ולכן -\int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x \le \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x. מכאן נובע שהאינטגרל של f אינו גדול מהאינטגרל של |f|.

יש כלל שאומר: האינטגרל של פונקציה לא גדול מהאינטגרל של הערך המוחלט שלה. אינטגרל זה כמו סכום מתמשך. ערך מוחלט של מספר הוא הגודל שלו בלי סימן.

אם אפשר לחשב אינטגרל של f על קטע [a,b], אז האינטגרל של f קטן או שווה לאינטגרל של |f|.

לכל נקודה x יש -|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|. אם מסכמים את זה על כל הקטע, סדר השוויונות נשמר גם לאינטגרלים. לכן אינטגרל f אינו גדול יותר מאינטגרל |f|.

הערה: אם אפשר לחשב אינטגרל של f, אפשר גם של |f|.