אי-שוויון צ'בישב

בתורת ההסתברות, אי-שוויון צ'בישב הוא כלל שמאפשר להעריך עד כמה משתנה מקרי יכול לסטות מהתוחלת שלו. תוחלת היא הממוצע הצפוי של המשתנה. שונות היא מדד כמה הערכים נוטים להתרחק מהממוצע.

הצורה הכללית של האי-שוויון נכתבת כך: P(|X| ≥ C) ≤ E(X^2)/C^2. המשמעות: ההסתברות שהערך המוחלט של X גדול מ־C אינה עולה על הממוצע של X בריבוע חלקי C בריבוע. במילים פשוטות, אם השונות קטנה, הסיכוי לסטיות גדולות מהתוחלת קטן.

אי-שוויון צ'בישב חזק יותר מאי-שוויון מרקוב במובן שהוא נותן הערכה מדויקת יותר לסטיות סביב התוחלת. אפשר להשתמש בו כדי להוכיח גרסאות בסיסיות של חוק המספרים הגדולים (חוק חלש) כשיש שונות סופית. עבור מקרים מסוימים, כמו משתני ברנולי, קיימים אי-שוויונים חזקים יותר, למשל אי-שוויון צ'רנוף. אי-שוויון קאנטלי הוא גרסה חד-צדדית של צ'בישב.

על פי ההגדרה של תוחלת ריבועית מתקיים: E(f^2)=∫_Ω f^2(ω)dP(ω). אם נגבילו את האינטגרל לקבוצה שבה |f(ω)|≥C, אז בכל נקודה שם f^2(ω)≥C^2. לכן מתקבל כי E(f^2)≥∫_{|f|≥C} f^2 dP ≥ ∫_{|f|≥C} C^2 dP = C^2 P(|f|≥C). בחלוקת שני האגפים ב‑C^2 נובע P(|f|≥C) ≤ E(f^2)/C^2. ניתן גם לקבל את הצורה הזו ישירות מאי-שוויון מרקוב.

אי-שוויון צ'בישב אומר כמה ייתכן שמספר אקראי יהיה רחוק מהממוצע שלו. ממוצע הוא הסכום מחולק במספר הפריטים. שונות מראה כמה הערכים רחוקים מהממוצע.

הרעיון המרכזי: אם השונות קטנה, אז פחות סיכוי שהמספר יהיה רחוק מהממוצע. יש נוסחה שמקשרת את המרחק מהממוצע להסתברות לכך שזה יקרה.

אי-שוויון זה עוזר להראות חוקים חשובים בתורת ההסתברות. הוא גם חזק יותר מאי-שוויון ישן שנקרא מרקוב. יש גרסאות מיוחדות וחזקות יותר, כמו גרסה שמיועדת לערכים של 0 או 1.

בהוכחה מחשבים את ממוצע הריבוע של הפונקציה. אם מסתכלים רק על המקומות שבהם הערך גדול מ‑C, אז בכל מקום כזה הריבוע גדול מ‑C בריבוע. לכן הממוצע של הריבוע גדול או שווה ל‑C בריבוע כפול ההסתברות שהערך גדול מ‑C. מחלקים ב‑C בריבוע ומקבלים את האי-שוויון.