אלגברה בוליאנית היא קבוצה של איברים עם שלוש פעולות עיקריות: \land (וגם), \lor (או) ו-\lnot (שלילה). קיימים גם שני איברים מיוחדים שנקראים 0 ו-1. האקסיומות מוודאות שהמבנה הזה הוא סריג דיסטריבוטיבי עם שלמה (כלומר לכל איבר יש משלימה).
הדוגמה המטבעית היא אוסף תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. שם \land הוא חיתוך, \lor הוא איחוד ו-\lnot הוא המשלים. כך אפשר להבין את המשמעות הלוגית: \land = וגם, \lor = או, ו-\lnot = לא. ערכי אמת 0 ו-1 משמשים גם הם לייצוג אלגברה כזוג ערכי בייט ומעגלים לוגיים.
אוסף כל תת-הקבוצות של \{x,y,z\} הוא אלגברה בוליאנית. החסם העליון של שתי קבוצות הוא האיחוד, והחסם התחתון הוא החיתוך.
מגדירים יחס סדר על ידי a ≤ b אם a = a \land b. באלגברה של תת-קבוצות זה שווה להגדרה הרגילה של הכלה: a ⊆ b.
ניתן להגדיר אלגברה בוליאנית גם כסריג דיסטריבוטיבי עם 0 ו-1 ולכל איבר קיים משלימו.
אם מחליפים בין \land ו-\lor ובין 0 ו-1 בכל טענה נכונה, עדיין מקבלים טענה נכונה. זו שיטה מהירה להפיק משפטים דואליים.
לעיתים כותבים AND, OR, NOT. במעגלים דיגיטליים רואים גם NAND, NOR ו-XOR. מתמטיקאים משתמשים גם ב-+ עבור OR וב· עבור AND.
הומומורפיזם בין אלגבראות בוליאניות הוא פונקציה ששמרת על הפעולות \land, \lor ו-\lnot. איזומורפיזם הוא הומומורפיזם שהוא חד־חד־ערכי ועל.
ניתן להגדיר על אלגברה בוליאנית חיבור כ-XOR וכפל כ-AND, וכך מקבלים חוג מיוחד הנקרא חוג בוליאני. באותו אופן, חוג בוליאני ניתן להפוך בחזרה לאלגברה בוליאנית.
אידיאל הוא תת-קבוצה שסגורה תחת \lor ושכשהכופלים אותה עם איבר מהאלגברה נשארים בתוך האידיאל. המסנן (פילטר) הוא המושג הדואלי: הוא סגור תחת \land.
מידה אדיטיבית היא פונקציה שמקצה מספרים לאיברים כך שהערכים של איברים זרים (חיתוך אפס) מתווספים. מידה \sigma-אדיטיבית (נקראת בדרך כלל "מידה") מתירה סכום גם על סדרות אינסופיות זרות.
אלגברה בוליאנית שלמה מאפשרת חישובים של \lor ו-\land גם על קבוצות אינסופיות. כל אלגברה בוליאנית ניתנת להשלמה באופן יחיד עד איזומורפיזם.
מושגים נוספים הם \sigma-אלגברה ותנאי השרשרת בת-המניה (CCC). אלגברה היא שלמה אם ורק אם היא \sigma-אלגברה שמקיימת את CCC.
דיסטריבוטיביות אינסופית אינה מתקיימת תמיד באלגברה בוליאנית שלמה. כאשר היא מתקיימת לגבי גדלים מסוימים קוראים לה (\kappa,\lambda)-דיסטריבוטיבית.
כל אלגברה בוליאנית סופית דומה לאלגברה של כל תת-הקבוצות של קבוצה סופית. משפט סטון קובע שבמקרה אינסופי כל אלגברה בוליאנית איזומורפית לאלגברה של קבוצות בסוג מסוים של מרחב טופולוגי קומפקטי ואוסדורף.
אטום הוא איבר שלא גדול על ידי איבר חיובי אחר. אלגברה אטומית היא כזו שכל איבר מכיל אטום. אלגברה סופית מכילה מספר איברים שהוא חזקה של 2.
השם נגזר מג'ורג' בול (1815, 1864). בול פיתח רעיונות לוגיים כבר ב-1854. בהמשך פיתחו את התחום ג'בונס, פאריס, שרודר, וייטהד, ורמיל, מרשל סטון ועוד. במאה ה-20 האלגבראות שימשו בכלי עבודה חשובים בלוגיקה, בתורת הקבוצות ובהנדסת מחשבים.
אלגברה בוליאנית היא קבוצה עם שלוש פעולות: וגם, או, ולא. יש גם שני סימנים מיוחדים: 0 ו-1.
אפשר לחשוב על זה כמו על קבוצה של תיבות שמכילות חפצים. הפעולה "וגם" היא החפצים המשותפים. הפעולה "או" היא כל מה שיש בשתי התיבות. "לא" לוקחת את מה שאין בתיבה.
אם יש את הקבוצה \{x,y,z\}, כל תת-קבוצה שלה יוצרת אלגברה בוליאנית. החיתוך של שתי תת-קבוצות הוא מה ששניהם חולקים.
אלגברות בוליאניות משמשות במחשבים ובמעגלים דיגיטליים. שם 0 ו-1 מייצגים שקרים ואמיתות, או רמות מתח נמוכות וגבוהות.
אם מחליפים בין "וגם" ל"או" ובין 0 ל-1, עדיין מקבלים חוק נכון. זה נקרא דואליות.
במקרים רבים אפשר לייצג אלגברה בוליאנית על ידי קבוצות. זה עוזר לראות פעולות כמו חיתוך ואיחוד בצורה ברורה.
שמה של התיאוריה מגיע מג'ורג' בול (1815, 1864). הרעיונות שלו שימשו אחר כך לפיתוח לוגיקה ומחשבים.
תגובות גולשים