מטריצות פאולי
מטריצות פאולי הן שלוש "טבלאות" קטנות של מספרים. כל טבלה היא בגודל שני על שני. "טבלה" כאן פירושה מטריצה. יש שלוש מטריצות: σ1, σ2 ו‑σ3. כל אחת נותנת דרך שונה לשנות וקטור קטן של שני מספרים. אחת מחליפה בין שתי הכניסות. השנייה משתמשת ב‑i, שהוא מספר דמיוני. השלישית נותקת סימן אחד ל־+1 ולחברו ל‑−1. הן מ...
כפל מטריצות
כפל מטריצות עושה מטריצה חדשה משתי מטריצות. מטריצה היא טבלה של מספרים. הכפל מוגדר רק אם עמודות של הראשונה שוות בשכירן לשורות של השנייה. כפל מטריצות מייצג הרכבה של פעולות שמופעלות על וקטורים. הוא לא תמיד סימטרי, כלומר AB לא תמיד שווה ל-BA. הוא שומר על חוקים כמו חיבור ואסוציאציה. כאשר מטריצה A בגו...
דמיון מטריצות
דמיון הוא יחס בין מטריצות ריבועיות בגודל אותו דבר. מטריצה (טבלה של מספרים) נקראת דומה לאחרת אם הן מייצגות את אותה פעולה על וקטורים. וקטור (רשימת מספרים) הוא מה שמקבלים כשמחליפים מקום או גודל. אומרים שמטריצות דומות אם יש דרך להמיר אחת לשנייה בעזרת מטריצה הפיכה. מטריצה הפיכה היא כזו שאפשר "לבטל" אותה...
וולפגנג פאולי
וולפגנג ארנסט פאולי (1900, 1958) היה מדען פיזיקה מאוסטריה. הוא המציא חוק חשוב על אלקטרונים. פאולי נולד בווינה. משפחתו הייתה ברובה ממוצא יהודי. הוא למד במקום טוב וסיים את הדוקטורט במינכן ב-1921. הוא עבד במקומות כמו גטינגן וקופנהגן. ב-1928 הוא היה פרופסור בציריך. ב-1940 עבר לארצות הברית לעבוד בפרינס...
אלגברת בנך
אלגברת בנך היא מקום מתמטי שבו יש חיבור וכפל, ויש דרך למדוד גודל שנקראת נורמה. נורמה = מדד לגודל של איברים. מספרים ממשיים וכולי הם דוגמה פשוטה. גם המספרים המרוכבים נכנסים כאן. מטריצות (טבלאות של מספרים) הן דוגמה נוספת. קבוצת כל הפונקציות הרציפות על מרחב קומפקטי גם היא אלגברה כזו. לכל איבר אפשר לה...
אלגברה מופשטת
אלגברה מופשטת חוקרת מבנים מתמטיים. מבנים אלה הם קבוצות עם חוקים. דוגמאות: חבורה (קבוצה עם פעולה), חוג (יש שתי פעולות), ושדה (אפשר לחלק מספרים פרטיים). אלגברה ליניארית היא חלק מהתחום. היא עובדת עם וקטורים. וקטור יכול להיות רשימה של מספרים. לומדים גם מטריצות, שהן טבלאות מספרים שמייצגות פעולות על וקטו...
חוג (מבנה אלגברי)
חוג הוא קבוצה עם שתי פעולות: חיבור וכפל. פעולות אלה עוקבות אחרי כללים פשוטים. אחד הכללים אומר שפיזור עובד: a·(b+c)=a·b+a·c. אם הכפל מחליף סדר, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה: המספרים השלמים. מטריצות אינן מחליפות סדר בדרך כלל. איבר יחידה הוא 1 שמכפיל ולא משנה אף איבר. יש חוגים בלי איבר כזה. קוראים ...
אלגברת ז'ורדן
אלגברת ז'ורדן היא דרך לכפל בין איברים שבה הכפל סימטרי. סימטרי כאן פירושו: x•y = y•x. המדען Pascual Jordan המציא את הרעיון בתחילת המאה ה-20. הוא רצה להסביר חוקים של מכניקת הקוונטים בלי להשתמש בכל המטריצות הרגילות. אם לוקחים מטריצות הרמיטיות (מטריצות שמקיימות תנאי סימטרי), ומגדירים כפל חדש x•y = (xy...
קומוטטור
קומוטטור הוא כלי במתמטיקה שבודק אם סדר הפעולות משנה תוצאה. אם עושים a ואז b והתוצאה שונה מלעשות b ואז a, זה אומר ש"הם לא מתחלפים". יש שתי דרכים לחשוב על זה. בדרך אחת, בוחנים את ההפרש בין ab ל‑ba. בדרך אחרת, בחבורות (קבוצה עם "כפל") בוחנים מה קורה כשמחברים גם את ההפכים של האיברים. באלגברות ובחוג...
מחלק אפס
מחלק אפס הם שני איברים שמכפלתם נותנת אפס. זה קורה אפילו כשאף אחד מהם אינו אפס. מחלק אפס שמאלי הוא איבר שאם מכפילים אותו משמאל באיבר אחר שאינו אפס, מקבלים אפס. מחלק אפס ימני זה אותו דבר, אך מהצד הימני. חוג הוא מקום שבו עושים חיבור וכפל. אם בחוג אין מחלקי אפס, קוראים לו תחום. בשדה, שהוא סוג מיוחד של ח...
מטריצה
מטריצה היא רשת של מספרים. יש לה שורות (אופקיות) ועמודות (אנכיות). אומרים "m על n" כשיש m שורות ו־n עמודות. לדוגמה: [[1,2,3],[4,5,6]] היא מטריצה עם 2 שורות ו־3 עמודות. אפשר לחבר מטריצות על ידי חיבור כל מספר עם המקביל לו. אפשר גם לכפול כל מספר במטריצה במספר. כפל של שתי מטריצות אפשרי רק אם מספר העמודו...
מטריצה סקלרית
מטריצה סקלרית היא טבלת מספרים ריבועית עם אותו מספר על כל הקו מהפינה השמאלית עליונה לפינה הימנית תחתונה. סקלר הוא מספר אחד. מטריצת זהות היא טבלה עם 1 על הקו הזה ו-0 בשאר המקומות. כפל בסקלר אומר שמכפילים כל מספר בטבלה באותו הסקלר. לכן מטריצה סקלרית נראית כך: על כל האלכסון יש λ ושאר המקומות הם 0. באו...
החבורה הליניארית הכללית
GL_n(F) היא קבוצת כל המטריצות ההפיכות בגודל n על n. מטריצה היא טבלה של מספרים. "הפיכה" אומרת שיש לה מטריצה הופכית. הפעולה היא כפל מטריצות. יש גם מטריצת יחידה שמשמשת כאיבר ניטרלי. אפשר לראות את GL_n(F) גם בתור כל ההעתקות הליניאריות ההפיכות של מרחב וקטורי בממד n. מרחב וקטורי הוא מקום שבו עובדים עם וקט...
פסקואל יורדן
פסקואל יורדן נולד ב-1902 ומת ב-1980. הוא היה פיזיקאי גרמני. עבד על מכניקת הקוונטים. מכניקת הקוונטים היא חוקי התנהגות של חלקיקים מאוד קטנים. הוא עזר לפתח מכניקת המטריצות. מטריצה היא טבלה של מספרים. יורדן גם חיבר רעיונות לתורת השדות הקוונטית. שדה כאן הוא משהו שממלא מקום, כמו שדה מגנטי. הוא הצטרף למפלג...
זוויות אוילר
זוויות אוילר הן שלוש זוויות שמתארות סיבוב בחלל. השם מגיע מהמתמטיקאי אוילר. אפשר לייצג סיבוב בעזרת מטריצות סיבוב. יש גם קווטרניון, מספרים מיוחדים שמייצגים סיבוב. כדי לתאר סיבוב עושים שלושה סיבובים סדרתיים. הסדר חשוב. דוגמה פשוטה: 1) סיבוב סביב ציר z. 2) סיבוב סביב ציר x של המערכת שהסתובבה. 3) סיבוב...
קוד המינג
קוד המינג הוא דרך למצוא ולתקן טעויות בביטים (סיביות). סיבית היא יחידה קטנה של מידע. המטרה היא לתקן ביט אחד שבור. ריצ'רד המינג עבד במעבדות בל. הוא רצה שמשדרים יהיו אמינים יותר. ב־1950 הוא המציא את קוד המינג. סיבית זוגיות היא ביט שמראה אם יש מספר זוגי של 1 בביטים. אם המספר נשבר, יודעים שמשהו השתבש. ...
מטריצה אלכסונית
מטריצה אלכסונית היא טבלה של מספרים. רק המספרים על האלכסון הראשי יכולים להיות לא אפס. האלכסון הראשי מתחיל בפינה שמאלית-עליונה ונגמר בפינה ימנית-תחתונה. דוגמה פשוטה של מטריצה כזו: [1 0 0] [0 4 0] [0 0 -3] [0 0 0] כשהכל על האלכסון זהה, קוראים לזה מטריצה סקלרית. "סקלרית" פה אומר שכל הערכים על האלכסון ...
קבוצה בלתי תלויה (תורת הגרפים)
קבוצה בלתי תלויה היא קבוצה של נקודות (קודקודים) בגרף. נקודות בקבוצה כאלו לא מחוברות זו לזו. אם צובעים את הקודקודים כך ששכנים לא מקבלים את אותו צבע, כל צבע נותן קבוצה כזו. סימול נפוץ לגודל הגדול ביותר הוא α של הגרף. השאלה: האם יש קבוצה בלתי תלידה בגודל מסוים? זו שאלה קשה מאוד. ריצ'רד קארפ הראה שהי...
מטריצה לכסינה
מטריצה היא לְכסינה כשאפשר לשנות אותה למטריצה פשוטה עם מספרים רק על האלכסון. מטריצה אלכסונית היא כזו שרק הקו מהפינה השמאלית העליונה לפינה הימנית התחתונה מלא במספרים. ווקטור עצמי הוא כיוון שבו המטריצה לא משנה את הכיוון. הערך העצמי הוא המספר שכופל בכיוון הזה. אם יש הרבה כיוונים כאלה עד שמכסים את כל המ...
כאוס קוונטי
כאוס קוונטי הוא ענף במכניקה קוונטית. מכניקה קוונטית היא תורת החלקיקים הקטנים. מקווים של אור או חלקיקים יכולים להתנהג בצורה כאוטית. התחום בודק איך הכאוס הקלאסי משפיע על תכונות קוונטיות. למשל צפיפות מצבים, מוליכות ומגנטיזציה. יש כמה דרכים ללמוד את זה. הגישה הממוחשבת עושה חישובים על מחשב. היא גילתה "...
חוג ארטיני
חוג ארטיני הוא חוג שמפסיק לקבל אידיאלים יותר ויותר קטנים. אידיאל הוא קבוצה מיוחדת בתוך החוג. כל אלגברה עם מספר סופי של ממדים מעל שדה היא ארטינית. חוגים כאלה פשוטים יחסית ומבנים מהם ברורים. הרדיקל של ג'ייקובסון בחוג ארטיני הוא נילפוטנטי. נילפוטנטי פירושו: אם מרימים איבר בחוזקה מסוימת הוא הופך לאפ...
אופרטור הרמיטי
אופרטור הרמיטי הוא פעולה על וקטורים. וקטור הוא רשימת מספרים. פעולה זו שווה ל"צמוד" שלה. הצמוד הוא אופרטור שמקיים ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A^*y⟩. ההסבר הקצר: הצמוד הוא כמו מראה של הפעולה. תכונה חשובה: הערכים העצמיים של אופרטור הרמיטי הם תמיד מספרים ממשיים. ערך עצמאי (eigenvalue) הוא המספר λ שעבורו Av = λv. כשעו...
ורנר הייזנברג
ורנר הייזנברג נולד ב־1901 בגרמניה. הוא היה מדען שחקר חלקיקים קטנים. הייזנברג עזר לבנות תחום חדש בשם מכניקת הקוונטים. זהו תחום שחוקר את התנהגות חלקיקים מאד קטנים. הוא פיתח דרך מתמטית שנקראת "מכניקת המטריצות" לתאר את החלקיקים. הוא גם כתב את עקרון האי-ודאות. המשמעות: אם יודעים בדיוק את המקום של חלקיק...
ספין (פיזיקה)
ספין היא תכונה פנימית של חלקיקים. תכונה פירושה משהו שייחודי לחלקיק. הספין קשור למגנטיות של החלקיק. ספין מגיע בערכים בדידים. זה אומר שיש ערכים מסודרים ולא רציפים. לאלקטרון יש ספין של חצי. אפשר למדוד את ההיטל של הספין על ציר, והוא נקרא m_s. עבור חלקיקים עם ספין חצי יש בדרך כלל שתי אפשרויות: "מעלה" ו"...
מקס בורן
מקס בורן נולד ב-1882 בעיר ברסלאו. אמא שלו מתה כשהיה קטן. הוא למד מתמטיקה ופיזיקה באוניברסיטאות שונות. בורן עזר לבנות את מכניקת הקוונטים. מכניקת הקוונטים היא מדע של חלקיקים זעירים. הוא תיאר את הרעיונות האלה בעזרת פונקציית גל. פונקציית גל היא נוסחה שמראה סיכויים למה יקרה לחלקיק. בשנת 1925 עבד עם הי...