בנייה בסרגל ובמחוגה

בגאומטריה האוקלידית של המישור, בנייה בסרגל ובמחוגה היא יצירת עצמים גאומטריים (כמו קטעים או זוויות) באמצעות שני כלים אידיאלים: סרגל (לשרטוט ישרים) ומחוגה (לשרטוט מעגלים). כוונת ה"סרגל" וה"מחוגה" כאן היא לא לכלים פיזיים בלבד, אלא לכלים שמתאימים לאקסיומות של אוקלידס. אוינופידיס היה הראשון שחקר את הנושא.

סרגל ומחוגה עושים שתי פעולות יסוד: שרטוט ישר העובר בשתי נקודות נתונות, ושרטוט מעגל שמרכזו בנקודה נתונה ועובר דרך נקודה אחרת. מהפעולות האלה ניתן למצוא גם נקודות חיתוך של שני ישרים, של ישר ומעגל, ושל שני מעגלים, אם הן קיימות. בנייה מורכבת היא שרשרת של צעדים כאלה.

בעזרת הסרגל והמחוגה אפשר לבצע בניות רבות. בין הפעולות הנפוצות: חיבור וחיסור אורכי קטעים, כפל וחילוק באחוזים רציונליים, וחיבור וחיסור של זוויות.

בעיות בנייה היו מנוע חשוב להתפתחות הגאומטריה. היוונים הקדמונים ניסחו ארבע בעיות קלאסיות שהיו פתוחות כ־2,000 שנים. בסופו של דבר הוכיחו כי רבות מהן בלתי פתירות במסגרת בנייה בסרגל ומחוגה, באמצעות כלים מתמטיים של הרחבות שדות (רעיון מהאלגברה שמסביר אילו מספרים ניתן להשיג מהאחרים בעזרת שורשים).

לבניית מצולע משוכלל בעל n צלעות צריך לבנות זווית של 360/n מעלות. גאוס הראה שש־אפשר לבנות מצולעים משוכללים אם ומתי n הוא מכפלה של חזקות 2 וראשוני פרמה מסוימים. זה אומר שניתן לבנות, למשל, מצולע בן 17 צלעות, ואף בן 65,537 צלעות; אבל לא ניתן לבנות מצולע בן 9 צלעות, כי זה יצריך בנייה של זווית של 20 מעלות שאינה מבוצעת בסרגל ומחוגה.

בהינתן קטע יחידה (אורכו 1) מגדירים אילו מספרים "ניתנים לבנייה". מקבלים את כל המספרים הטבעיים על ידי חיבור קטעים. אפשר גם לכפול ולחלק קטעים באמצעות שרטוטים גיאומטריים ושימוש במשפט תאלס (צריך לבנות פריסה מדורגת של ישרים ומקבילים). ניתן להוציא שורש ריבועי של אורך על ידי שרטוט מעגל ואנך, וכך לקבל מספרים שהם שורשים. בסך הכל אפשר להגיע לכל מספר רציונלי חיובי ובנוסף לכל מספר שמתקבל באמצעות שרשראות של הרחבות ריבועיות של השדה הרציונלי.

אם מסמנים על המישור שתי נקודות כ־0 ו־1, אפשר לזהות נקודה אחרת עם מספר מרוכב. מספר מרוכב a+bi ניתן לבנייה אם ורק אם אפשר לבנות את הערכים המוחלטים |a| ו-|b| כמקורות קואורדינטות.

אפשר לבצע את אותן בניות עם כלים אחרים. בשנת 1797 הראה לורנצו מסקרוני שאפשר לבנות בעזרת מחוגה בלבד את כל מה שניתן בסרגל ומחוגה. בנייה בסרגל בלבד מוגבלת יותר, כיוון שהוא פותר רק משוואות ליניאריות; עבודות במאה ה־18 וה־19 חקרו את העניין. פונסלה ושטיינר הוכיחו שאם נותנים לסרגל מעגל קבוע ומרכזו, אזי הסרגל מספיק כדי לבצע כל בנייה שנעשית במחוגה וסרגל (משפט פונסלה, שטיינר). כלי נוסף הוא הסרגל המסומן (neusis), שמאפשר בניות שאינן אפשריות לבד עם הסרגל והמחוגה. ארכימדס הראה שבעזרת הסרגל, המחוגה ו־neusis אפשר לחלק זווית לשלושה חלקים שווים.

לבסוף, יש גם כלי מיוחד בשם "סרגל דו-צדדי" שמסוגל לבנות ישרים במרחק קבוע. גם אליו מיוחסת היכולת לבצע את אותן בניות כמו הסרגל והמחוגה.

בגאומטריה משתמשים בסרגל ובמחוגה כדי לבנות צורות. סרגל שרטוט ישרים. מחוגה שרטוט מעגלים. כל בנייה היא צירוף של צעדים פשוטים.

עם סרגל ומחוגה אפשר: לצייר ישר שעובר בשתי נקודות, ולשרטט מעגל שמרכזו בנקודה ועובר דרך נקודה שנייה. משתי פעולות אלה מוצאים גם איפה ישרים ומעגלים חותכים.

אפשר לחבר ולהשוות אורכים. אפשר גם להכפיל ולחלק אורכים פשוטים. בעזרת מעגלים ואנך (קו בזווית ישרה) אפשר למצוא שורש ריבועי של אורך. שורש ריבועי זה אומר מספר שכאשר מכפילים אותו בעצמו מקבלים את האורך המקורי.

ביוון העתיקה ניסו לפתור בעיות קשות באמצעות הסרגל והמחוגה. רבות מהבעיות האלו הוכיחו שלא ניתן לפתור אותן בכלים האלה בלבד.

לבנות מצולע משוכלל פירושו לחלק מעגל לחלקים שווים. גאוס הראה שיש מצולעים שאפשר לבנות, כמו מצולע בן 17 צלעות. יש גם מצולעים שלא ניתן לבנות, כמו מצולע בן 9 צלעות.

חוקרים הראו שכל מה שאפשר לבנות בסרגל ומחוגה אפשר גם עם מחוגה בלבד. אם נותנים לסרגל מעגל קבוע עם מרכזו, אפשר גם לסרגל בלבד לעשות את רוב הבניות. יש כלי מיוחד שנקרא "neusis" (סימון על סרגל) שעוזר לפתור בעיות שקשה לפתור בדרך הרגילה. ארכימדס השתמש בכלי כזה כדי לחלק זוויות לשלושה חלקים שווים.