גבול (טופולוגיה)

מושג הגבול בטופולוגיה מרחיב את רעיון הגבול מהחשבון לכל מרחב טופולוגי. נקודת גבול (או נקודת הצטברות) של קבוצה היא נקודה שכל סביבה פתוחה שלה מכילה נקודה אחרת מהקבוצה.

גבול של סדרה הוא נקודה שהסדרה מתכנסת אליה. משמעות ההתכנסות בטופולוגיה: בכל סביבה של הנקודה נמצאים כל איברי הסדרה למעט מספר סופי. במרחב מטרי (מרחב עם מדד מרחק) זה שווה לכך שמרחקי האיברים מהנקודה קטנים וקטנים ככל שמתקדמים בסדרה.

במרחבים שמקיימים את תכונת המניה הראשונה (תכונה פשוטה שאומרת שקיים 'בסיס' סביבות נספר סביב כל נקודה), יש קשר חזק בין נקודות גבול של קבוצות לגבולות של סדרות: נקודה היא נקודת גבול של קבוצה אם ורק אם קיימת סדרה של איברים מהקבוצה, שאינם שווים לנקודה, המתכנסת אליה. בקצרה: בסביבות כאלה סדרות מספיקות כדי לגלות גבולות של קבוצות.

כדי לטפל במקרים שבהם סדרות לא מספיקות, מגדירים רשת. קבוצה מכוונת היא קבוצת אינדקסים שבה לכל שני איברים קיים אחד שהם שניהם פחות ממנו. רשת היא משפחה של נקודות המסומנות לפי אינדקסים כאלה. נקודה היא גבול של רשת אם לכל סביבה יש שלב באינדקס שבו כל האיברים שאחריו שייכים לסביבה.
רשתות ממחישות התכנסות בצורה כללית יותר מאשר סדרות. הכרת כל הגבולות של רשתות מאפשרת לשחזר את כל הטופולוגיה של המרחב.

יש מרחבים שבהם קיימות נקודות גבול של קבוצות שאין להן סדרות מתכנסות שמגיעות אליהן. דוגמאות כאלו מדגימות שהסדרה איננה תמיד כלי מספיק.

רשתות ומסננים (כלי שמייצג קבוצות של חלקים שנשמרות בהינתן התכנסות) שקולים: מכל רשת אפשר לבנות מסנן ולהיפך. לכן כדי לתאר גבולות במרחבים כלליים עובדים עם רשתות או מסננים במקום רק בסדרות.

גבול בטופולוגיה הוא רעיון שמרחיב את מה שלמדנו בחשבון.

נקודת גבול של קבוצה היא נקודה שכל פעם שנבדוק סביבה שלה נמצא שם עוד נקודה מהקבוצה. נקודת גבול נקראת גם נקודת הצטברות.

גבול של סדרה הוא נקודה שהסדרה מתקרבת אליה. זה אומר שלבסוף כל איברי הסדרה נמצאים קרוב לנקודה.

לפעמים סדרות לא מספיקות. אז משתמשים ברשתות. רשת דומה לסדרה, אבל האינדקסים שלה מסודרים בצורה כללית יותר. רשת מתכנסת אם אחרי שלב מסוים כל האיברים נמצאים בתוך כל סביבה של הנקודה.

יש מצבים שבהם יש נקודת גבול אבל לא קיימת סדרה מהקבוצה שמגיעה אליה. לכן צריכים כלים חזקים יותר.

רשתות ומסננים הם שני כלים ששווים בכוחם. הם עוזרים להבין התכנסות במקום שבו סדרות לא מספיקות.