התמרת לפלס

"התמרת לפלס" היא כלי מתמטי שמקל על ניתוח מערכות ליניאריות בלתי-תלויות בזמן, כמו מעגלים חשמליים ומערכות מכאניות. היא קרויה על שם פייר-סימון לפלס. את ההתמרה של פונקציה f(t) מסמנים בדרך כלל כ‑F(s) או \\mathcal{L}\{f(t)\}, והיא מוגדרת על ידי אינטגרל שמכפיל את f(t) בגורם דועך e^{-st} ומחבר מ‑0 עד אינסוף. זו התמרה אינטגרלית שממפה פונקציה לפונקציה.

התמרת לפלס ליניארית. תכונה מרכזית שלה היא שהנגזרת בזמן הופכת להכפלה ב‑s במישור ה‑s: L\{f'\}=s L\{f\}-f(0). תכונה זו מקלה מאוד על פתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות.


רעיון ההתמרות האינטגרליות הופיע כבר אצל לאונרד אוילר. לפלס קשר את שמו לביטוי הנפוץ של ההתמרה. מאוחר יותר מתמטיקאים כמו פינקרלה ופואנקרה הרחיבו את הרעיון למישור המרוכב ולמקרים כלליים יותר.


התמרת לפלס מוגדרת גם עבור ערכי s מרוכבים. עבור Re(s)>0 האינטגרל מתכנס בדוגמאות רגילות. למשל, ההתמרה של פונקציה מחזורית כמו e^{i\omega t} מובילה לביטוי 1/(s-i\omega) בתנאי Re(s)>0. באמצעות ליניאריות מקבלים גם את התמרות של סינוס וקוסינוס:

L\{\sin\omega t\}=\omega/(s^2+\omega^2),
L\{\cos\omega t\}=s/(s^2+\omega^2).

אם s הוא מדומה טהור (אין לו חלק ממשי), התמרת לפלס מתאימה להתמרת פורייה.


פונקציה f(t) היא מסדר מעריכי \alpha אם יש קבועים שמגבילים את ערכה על ידי M e^{\alpha t} עבור t גדולים. למשל, e^{at} סדרו a, סינוס סדרו 0, ואקספוננט מהיר כמו e^{t^2} אין לו סדר מעריכי. אם f רציפה למקוטעין ובעלת סדר מעריכי \alpha, אז ההתמרה קיימת לכל Re(s)>\alpha. יש גם מקרים יוצאי-דופן שבהם אין סדר מעריכי אבל עדיין קיימת התמרת לפלס.


תכונות חשובות שנמצאות בשימוש יומיומי:
- ליניאריות: L\{a f + b g\}=aF+bG.
- נגזרת: נוסחאות לבעיות עם נגזרות מעלות שונות.
- כפל בזמן ב‑t גורר נגזרת לפי s: L\{-t f(t)\}=dF/ds.
- קונבולוציה: L\{f*g\}=F(s)·G(s), דבר חשוב בפיזיקה והנדסה.
- אינטגרציה בזמן מוסיפה גורם 1/s ב‑s.
- הזזה בזמן הופכת לגורם מעריכי e^{-as} במישור ה‑s, ולהיפך באמצעות התמרה הופכית.
- הזזה בתדר (כפל ב‑e^{at}) משרטטת את F(s-a).


בעזרת ליניאריות וערכים ידועים מתקבל שלפולינום t^k ההתמרה היא k! / s^{k+1}. עבור טורי חזקות אינסופיים קיימת התמרת לפלס רק תחת תנאים קוהרנטיים על מקדמי הטור (חסימה דומה ל־M\alpha^k/k!). במקרים כאלה אפשר להעביר את הסכום דרך ההתמרה.


אם ל‑f ולנגזרת שלה קיימת התמרת לפלס, אז הערך של f בזמן 0 שווה לגבול sF(s) כש‑s שואף לאינסוף.


אם ל‑f ולנגזרותיה יש התמרת לפלס, וכל הקטבים של F במישור השמאלי (ולפחות לא יותר מקוטב אחד בראשית), אז הערך של f בזמן אינסוף שווה לגבול sF(s) כש‑s שואף לאפס.


התמרת לפלס נפוצה בפתרון משוואות דיפרנציאליות ובהנדסה. מהנדסים אומרים שהיא "מעבירה" ניתוח ממישור הזמן למישור ה‑s, כלי שימושי לניתוח יציבות ומתחים במערכות ליניאריות.

התמרת לפלס היא דרך לשנות פונקציה בזמן לכלי חדש. פונקציה היא חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. בכלי החדש קוראים לו F של s. עושים זאת על ידי חיבור מיוחד של הערכים בזמן.

התמרת לפלס עוזרת לפשט בעיות. היא הופכת נגזרת של פונקציה (מה שמספר מהירות שינוי) להכפלה ב‑s. כך קל יותר לפתור משוואות שנראות מסובכות.


הרעיון התחיל בעבודות של המתמטיקאי אוילר. לפלס נתן את שמו לכלי הזה.


מדי פעם משתמשים במספרים עם חלק מדומה. בתנאים מתאימים היא עובדת גם שם. זה עוזר למצוא ביטויים לפונקציות כמו סינוס וקוסינוס.


כדי שההתמרה תתקיים, צריך שהפונקציה לא תגדל מהר מדי. אם אפשר למצוא מספרים שמגבילים אותה בעזרת חזקת אקספוננט, היא בסדר. למשל, פונקציית e^{at} מותרת, וסינוס מותר. פונקציה כמו e^{t^2} גדלה מהר מדי.


כמה חוקים חשובים:
- אפשר לפרק סכומים ולהתמרת כל חלק בנפרד.
- כפל זמן מסוים קשור לנגזרת ביחס ל‑s.
- יש חוק שמספר איך חיבור בודד בזמן משפיע על התוצאה (קונבולוציה).
- הזזה בזמן מוסיפה גורם מיוחד שמייצג את ההזזה.


ניתן למצוא את ערך הפונקציה בתחילת הזמן בעזרת גבול של sF(s) כשה‑s גדול מאוד. אפשר גם למצוא ערך בעתיד הרחוק בעזרת גבול של sF(s) כשה‑s מתקרב לאפס, בתנאים מסוימים.


התמרת לפלס עוזרת למהנדסים ולמתמטיקאים. היא משמשת לפתרון משוואות ולבדיקה איך מערכות מתנהגות עם הזמן.