התפלגות

בסטטיסטיקה ותורת ההסתברות, התפלגות (probability distribution) מתארת איך סיכויים מתחלקים בין התוצאות האפשריות של תהליך אקראי. מרחב ההסתברות הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות, וההתפלגות קובעת את ההסתברויות לכל מאורע. לדוגמה, מדידות גובה בקרב נשים מראות כי גבהים כמו 160, 165 ס"מ שכיחים יותר, ואילו 180 ס"מ או 150 ס"מ נדירים יותר. אם משתנה מקרי X יש לו התפלגות D עם פרמטרים a1, a2,… כותבים X ~ D(a1,a2,…). מבחינה טכנית, התפלגות היא פונקציית מידה שמקצה הסתברויות לקבוצות מדידות במרחב, כלומר פונקציה שמחשבת את ההסתברות של כל מאורע.

יש שתי משפחות עיקריות. התפלגות בדידה מקצה לכל ערך אפשרי סיכוי בין 0 ל-1, למשל טבלה או נוסחה שמציינת את ההסתברות של כל תוצאה. התפלגות רציפה מתארת משתנים שלוקחים ערכים ממשיים; כאן קובעים הסתברויות לקטעים של מספרים, ולנקודה בודדת בדרך כלל ההסתברות היא אפס. סוגים אלה ניתנים להכללה גם למרחבים רב־ממדיים.

ההתפלגות קשורה למשתנה מקרי שנותן ערכים בקבוצה מסוימת. במקרה בדידי מדברים על ההסתברות ש־X = a. במקרה הרציף מעניינים אותנו סיכויים ש־X נמצא בקטע [a,b], כלומר Pr[a ≤ X ≤ b].

לכל משתנה ממשי ניתן להגדיר את פונקציית ההצטברות F_X(x)=Pr[X ≤ x]. זו פונקציה מונוטונית עולה שיודעת לתת הסתברויות לקטעים. עבור משתנה בדידי הפונקציה קפיצית ומקוטעת. אם פונקציית ההצטברות רציפה, אומרים שהתפלגות רציפה.

יש תפלגויות שניתן לתאר באמצעות פונקציית צפיפות f (density). ממנה מחשבים את ההסתברות של קטע על ידי סכימה אינסופית או אינטגרל. f חייבת להיות אי־שלילית ולחבור לערך 1 על כל הישר הממשי. במקרה כזה F_X נגזרת של f, כלומר F'=f.

התומך של התפלגות הוא קבוצת הערכים הקטנה ביותר שאל מחוצה לה ההסתברות היא אפס. הוא מייצג את הערכים שבפועל יכולים להתרחש.

התפלגות היא דרך לראות כמה סיכוי יש לכל תוצאה באירוע אקראי. מרחב ההסתברות הוא כל התוצאות האפשריות. למשל, בגבהים של נשים, 160, 165 ס"מ קורים הרבה יותר מ‑180 ס"מ.

התפלגות בדידה נותנת לכל ערך סיכוי מסוים. אפשר לכתוב את זה בטבלה. התפלגות רציפה נותנת סיכוי לקטעים של מספרים. לנקודה אחת בדרך כלל ההסתברות היא אפס.

פונקציית ההצטברות F_X(x) אומרת: כמה סיכוי ש־X יהיה קטן או שווה ל־x. היא עולה ככל ש־x גדול יותר. עבור משתנה בדידי היא קופצת. עבור משתנה רציף היא חלקה יותר.

יש גם פונקציית צפיפות, שזו פונקציה שעוזרת לחשב סיכויים בקטעים. היא אינה יכולה לתת מספרים שליליים, וסכום כל הסיכויים שלה הוא 1.

התומך של ההתפלגות הוא כל הערכים שעשויים לקרות. מחוץ לו הסיכוי כמעט אפס.