חלוקת יחידה

חלוקת יחידה (פיצול יחידה) היא אוסף של פונקציות אי-שליליות על מרחב, שסכומן בנקודה כלשהי שווה תמיד 1. כל פונקציה איננה מתאפסת אלא באזור קטן שנקרא התמיכה שלה. התמיכה היא הסגירה של הקבוצה שבה הפונקציה שונה מאפס, והיא נדרשת להיות קומפקטית (קבוצה "לא גדולה מדי" מבחינה טופולוגית).

אוסף פונקציות ψ_i על מרחב טופולוגי X נקרא חלוקת יחידה אם הפונקציות הן אי-שליליות, לכל אחת יש תמיכה קומפקטית, וסכומן בכל נקודה הוא 1. נתון כיסוי פתוח {U_i} של X: אם לכל i קיימת j כך שהתמיכה של ψ_i מוכל ב‑U_j, אומרים שהחלוקה משועבדת לכיסוי. אם לכל i התמיכה מוכל בדיוק ב‑U_i, אומרים שהיא משועבדת עם אותם אינדקסים.

חלוקות יחידה ממופות גם לפי חלקותן: אם כל הפונקציות רציפות זוהי חלוקת יחידה רציפה; ביריעה חלקה הן יכולות להיות חלקות (C^∞); ובמרחבים אנליטיים אפשר לדבר על חלוקות יחידה אנליטיות.

תנאי מספיק לקיום חלוקת יחידה הוא שהמרחב יהיה פרקומפקטי. לכן, למשל, ליריעות טופולוגיות יש בדרך כלל חלוקות יחידה רציפות, למעט כמה מקרים פתלוגיים.

חלוקת יחידה היא קבוצה של פונקציות שמקבלות ערכים לא שליליים. בכל נקודה סכום הערכים של כל הפונקציות הוא 1. כל פונקציה לא שווה אפס רק במקום קטן. המקום שבו הפונקציה לא אפס נקרא תמיכה. תמיכה היא הסגירה של המקום הזה, כלומר גם הגבול שלו כלול. קומפקטית אומרת "קבוצה קטנה וסגורה".

אם מכסים את המרחב בקבוצות פתוחות, אפשר לבחור פונקציות כך שכל פונקציה פעילה רק בתוך קבוצה כזו. כך אפשר לקחת משהו שעובד רק באזור קטן ולחבר אותו כדי שיעבוד בכל המרחב.

אם המרחב הוא פרקומפקטי, בדרך כלל יש חלוקת יחידה רציפה. על יריעות (משטחים חלקים) בדרך כלל קיימות חלוקות יחידה, חוץ ממקרים נדירים.