קוסינוס
קוסינוס היא דרך למצוא מספר בין -1 ל-1 שמקשור לזוויות. במשולש ישר הזווית, קוסינוס של זווית הוא אורך הצלע שליד הזווית חלקי אורך היתר. היתר הוא הצלע הכי ארוכה במשולש. על מעגל ברדיוס 1, כל נקודה מקושרת לזווית. הקוסינוס הוא פשוט הערך של x של אותה נקודה. כך אפשר לחשב קוסינוס לכל זווית. קוסינוס אפשר...
משפט הקוסינוסים
משפט הקוסינוסים מסביר איך צלעות וזווית במשולש קשורות זו לזו. אם יש שלוש צלעות והזווית שמול אחת מהן היא גדולה או קטנה, המשפט עוזר לחשב את אורך אותה צלע. המשפט כללי יותר ממשפט פיתגורס. משפט פיתגורס הוא המצב המיוחד שבו הזווית היא ישרה. זווית ישרה זו זווית של 90 מעלות. הרעיון הזה היה ידוע עוד באוקלידס...
טריגונומטריה
טריגונומטריה אומרת איך למדוד משולשים. המילה מגיעה מהמילים "משולש" ו"מדידה". היא התחילה לפני הרבה שנים בשביל אסטרונומיה. מיונים, הודים ואחרים חישבו טבלאות שיעזרו להם למדוד שמים. מאוחר יותר אנשים מהמזרח התיכון ואירופה פיתחו את זה עוד. בסוג חשוב של משולש יש זווית של 90 מעלות. הצד הכי ארוך נקרא הית...
טור פורייה
טור פורייה הופך גל מסובך ל"תערובת" של גלים פשוטים. הגלים האלה הם סינוסים וקוסינוסים. כך אפשר להבין ולקרב פונקציות שחוזרות על עצמן. כל פונקציה שחוזרת על עצמה אפשר לכתוב כסכום של גלים פשוטים. לכל גל יש מספר (מקדם) שמראה כמה הוא חזק. מקדמים אלה מחשבים באינטגרל (חישוב שמשקלל שטח). אם הפונקציה היא f(x)...
טור חזקות
טור חזקות הוא סכום של חזקות של x סביב נקודה c. כל חלק נקרא a_n(x-c)^n. a_n הם המקדמים. טורי חזקות עובדים טוב בתוך מרחק מסוים מ-c. המרחק הזה נקרא רדיוס התכנסות. אם הרדיוס גדול מאוד, הטור עובד כמעט תמיד. לכל טור יש דרך לחשב את המרחק הזה. אפשר לחבר או לחסר טורים על ידי חיבור המקדמים. מכפלה של טורים י...
אופרטור
אופרטור הוא פעולה במתמטיקה. הוא מקבל דברים ומחזיר דבר חדש. האפרנדים (האופרנדים) הם הדברים שעליהם פועלים. אופרטורים נכתבים בכמה דרכים. דוגמה: \cos x כותבים את השם לפני x. n! כותבים אחרי המספר. 3+4 כותבים בין שני מספרים. יש גם כתיב שבו שמים את הסימן לפני המספרים, למשל +2,3 במקום 2+3. אופרטור ליניארי...
נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)
נוסחת אוילר מחברת בין פונקציות מתמטיות מוכרות. היא אומרת שמחבר בכללים בין האקספוננטי לסינוס ולקוסינוס. אם בוחרים זווית בשם פאי, מקבלים תוצאה מיוחדת: e בחזקת i כפול פאי שווה -1. לכן e בחזקת iפאי ועוד 1 שווה 0. זהו חיבור יפה בין מספרים חשובים. כל מספר מרוכב אפשר לתאר על ידי אורך וזווית. האורך נקרא מ...
משפט התיכון
בתוך משולש, תיכון הוא קו מהקודקוד לאמצע הצלע מולו. אם D הוא אמצע הצלע BC, אז מתקיים: AB^2 + AC^2 = 2 AD^2 + BC^2/2 זה אומר: סכום ריבועי שתי השוקיים שווה לפעמיים ריבוע התיכון ועוד חצי מריבוע הבסיס. אם שתי הצלעות השוות (a = b), אפשר להשתמש במשפט פיתגורס (חוק על ריבועי צלעות בימין-זווית) ולקבל את הנוס...
נוסחת הרון
נוסחת הרון מחשבת שטח משולש לפי שלוש הצלעות. הנוסחה: שטח = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}. כאן a, b, c הן הצלעות. s היא מחצית ההיקף. היקף הוא סכום כל הצלעות. הנוסחה מיוחסת להרון מאלכסנדריה לפני אלפי שנים. ייתכן שארכימדס כבר הכיר אותה. במאה ה‑13 מתמטיקאי סיני חזר על התגלית. יש הוכחה מודרנית שמשתמשת בזוויות וב...
אי-שוויון קושי-שוורץ
אי־שוויון זה קושר בין "מכפלה פנימית" לנורמה. מכפלה פנימית היא דרך להשוות בין שני וקטורים. נורמה היא האורך של וקטור. האידיאה העיקרית: גודל המכפלה לא גדול ממכפלת האורכים. קושי גילה גרסה בסיסית ב־1821 עבור וקטורים סופיים. בוניקובסקי הרחיב את זה לאינטגרלים ב־1859. שוורץ הרחיב את זה עוד יותר ב־1885. אם...
פונקציות טריגונומטריות
פונקציות טריגונומטריות קושרות זוויות לאורכי צלעות. שלושת העיקריות הן סינוס, קוסינוס וטנגנס. במשולש ישר-זווית סינוס של זווית הוא הצלע שמול הזווית חלקי היתר. קוסינוס הוא הצלע ליד הזווית חלקי היתר. טנגנס הוא יחס בין שלשתן. למשל: sin A = מול/יתר, cos A = ליד/יתר, tan A = מול/ליד. טנגנס לא מוגדר בזוויות...
משפט פיתגורס
משפט פיתגורס עוזר לדעת את הקשר בין שלוש צלעות של משולש עם זווית ישרה. צלעות הקטנות נקראות ניצבים. הצלע הארוכה נקראת היתר. אם יודעים את אורכי הניצבים, אפשר לחשב את אורך היתר. הרעיון היה ידוע עוד במצרים ובבבל לפני פיתגורס. גם בהודו ובסין היו דוגמאות שלו. המתמטיקאים היוונים, כמו אוקלידס, כתבו הוכחות ...