"טור טי9" הוא טור חזקות (סכום של איברים עם חזקות של (x-x_0)^n) שמייצג פונקציה סביב נקודה x_0. מקדמי הטור הם ערכי הנגזרות של הפונקציה בנקודת הפיתוח x_0. נגזרת, שיעור השינוי של הפונקציה ביחס ל-x.
טור טיילור יכול, כשהוא מתכנס, לקרב פונקציה בעזרת פולינומים. הסכומים החלקיים נקראים פולינומי טיילור. לעתים הטור מתכנס רק בסביבה של x_0; אם הוא מתכנס אל הפונקציה בקטע פתוח, הפונקציה נקראת אנליטית, כלומר ניתן לשחזר אותה מכל נקודה על ידי טור טיילור שלה.
הרעיון פשוט: יודעים את ערכי הפונקציה ונגזרותיה ב-x_0, ובונים פולינום שמדמה את ההתנהגות של הפונקציה קרוב ל-x_0. דוגמה אינטואיטיבית היא מיקום מכונית לפי הזמן. אם יודעים רק את המיקום ברגע t_0, אפשר לנחש שזה המקום בכל זמן. אם יודעים גם את המהירות (הנגזרת), מקבלים קירוב טוב יותר: f(t)≈f(t_0)+v(t-t_0). אם יודעים גם את התאוצה, מוסיפים את התיקון השני, וכן הלאה.
בצורה פורמלית, טור טיילור של פונקציה g שגזירה אינסוף פעמים סביב x_0 נכתב כך:
T_g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}g^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}
כאשר g^{(n)}(x_0) היא הנגזרת מסדר n ב-x_0. אם מפתחים סביב x_0=0 קוראים לטור "טור מקלורן".
טורי טיילור חשובים בחישובים נומריים. הם מאפשרים לחשב קירובים של פונקציות מורכבות כמו e^x או סינוס באמצעות חיבור וכפל בלבד. במחשבים משתמשים בטורים או בשיטות אחרות כדי להחזיר ערכים של פונקציות אלה.
אחרי סכימת מספר איברים נשארת בדרך כלל שארית, ההפרש בין הפולינום לערך הפונקציה. יש נוסחאות להערכת השארית. שתי צורות נפוצות הן שארית לגראנז' ושארית קושי. אם סכמנו עד האיבר ה-n והפונקציה גזירה n+1 פעמים, צורת לגראנז' היא:
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
כאשר c היא נקודה לא ידועה בין x_0 ל-x. בגלל זאת ניתן רק להעריך את גודל השארית, לא לחשב אותה בדיוק.
דוגמה קלאסית: e^x. מכיוון שהנגזרת של e^x היא עצמה, כל הנגזרות ב-0 שוות ל-1, ולכן
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
לעומת זאת, קיימות פונקציות שהן גזירות אינסוף אבל טור טיילור שלהן בפועל לא מתכנס אליהן. דוגמה כזו היא
f(x)=e^{-1/x^2} (x\ne0), f(0)=0,
שכל נגזרותיה ב-0 אפסיות, לכן טור טיילור ב-0 הוא האפס, אף שהפונקציה שונה מאפס מחוץ לנקודה.
ניתן להכליל את הפיתוח למספר משתנים. בפיתוח כזה משתמשים בנגזרות חלקיות ובמטריצת ההסיאן (היא מטריצה של נגזרות מסדר שני). פיתוח מסדר שני מכיל את המונחים הרגילים, ועוד ביטוי ריבועי עם ההסיאן.
= טור לורן באנליזה
טור לורן הוא הכללה של טור טיילור שבה מופיעות גם חזקות שליליות. טור זה מתאים לתאר פונקציות עם נקודות סינגולריות.
בטורים משתמשים בחישובים נומריים ובתאוריה. דוגמה תיאורטית חשובה היא הוכחות של נוסחאות כמו נוסחת אוילר. בנוסף, אם טור טיילור מתכנס לכל הישר, ניתן להגדיר אקספוננט של מטריצות באמצעות הטור.
טור טיילור הוא דרך לבנות פולינום (ביטוי עם חזקות) שמקרב פונקציה סביב נקודה מסוימת x_0. כל איבר בטור משתמש ב"נגזרת" של הפונקציה. נגזרת היא כמה הפונקציה מתאיצה או משתנה.
המחשבה פשוטה: אם יודעים את הערך של פונקציה בנקודה, אפשר לנחש את הערכים הקרובים על ידי פולינום קצר. אם מוסיפים גם את המהירות, מקבלים ניחוש טוב יותר. אם מוסיפים גם את התאוצה, הניחוש משתפר עוד.
כשמפתחים סביב x_0=0 קוראים לטור "טור מקלורן". יש גם טור לורן. טור לורן דומה אבל יכול להכיל חזקות שליליות.
= שימות
טורי טיילור עוזרים לחשב פונקציות קשות כמו e^x או סינוס על ידי חיבור וכפל בלבד. מחשבים משתמשים בזה לעתים לחישובים מהירים.
= שערה
אחרי שמוסיפים כמה איברים נשאר הבדל קטן בין הפולינום והפונקציה. ההבדל הזה נקרא שארית. מסתכלים על השארית כדי להבין כמה הטור מדויק.
= דוגמה
דוגמה ידועה: e^x. הפונקציה הזו שווה לסכום של x^n חלקי n! לכל n. לכן אפשר לחשב אותה על ידי חזקות וחישובים פשוטים.
תגובות גולשים