יריעה טופולוגית

יריעה טופולוגית היא מרחב טופולוגי שבאופן מקומי נראה כמו המרחב האוקלידי R^n. כלומר, לכל נקודה במרחב יש סביבה שדומה מבחינה טופולוגית (הומיאומורפית) לסביבה פתוחה סביב ראשית הצירים ב-R^n.

תכונות מקומיות של R^n נשמרות ביריעה, למשל קומפקטיות מקומית והשקילות בין קשירות וקשירות מסילתית. עם זאת, תכונות כלליות אינן חייבות להישמר; לדוגמה, יריעה יכולה להיות לא קשירה אף על פי ש-R^n קשיר.

כדי שההגדרה תהיה מסודרת מוסיפים שתי דרישות טכניות חשובות: שהמרחב יהיה מרחב אוסדורף (אפשר להפריד נקודות על ידי סביבות פתוחות נפרדות) ושיקיים את האקסיומה השנייה של המנייה (second countability), כלומר שיש בסיס פתוח בן-מנייה, רשימה מונה של קבוצות פתוחות שממנה כל קבוצה פתוחה בנויה.

מרחב טופולוגי M נקרא יריעה טופולוגית מממד n אם הוא מרחב אוסדורף, מקיים את האקסיומה השנייה של המנייה, ולכל נקודה p
in M קיימת סביבה פתוחה U שמכילה את p והומיאומורפית ל-R^n. באופן שקול, יש כיסוי פתוח {U_α}_α כך שכל U_α הומיאומורפי לקבוצה פתוחה ב-R^n.

לכל חלק בכיסוי מקצים הומאומורפיזם φ_α: U_α → V_α⊂R^n. הזוג (U_α, φ_α) נקרא מפת יריעה, ואוסף המפות נקרא אטלס. כל φ_α מורכב מקואורדינטות מקומיות (x_1,…,x_n).

המעברים בין מפות, כלומר ההרכבות φ_α◦φ_β^{-1} המוגדרות באזור החיתוך, חייבים להיות רציפות. דרישה זו כמעט מספיקה לבניית יריעה חדשה: אם יש כיסוי בן-מנייה עם מפות חד-חד-ערכיות ששומרות על רציפות המעברים, אפשר להגדיר טופולוגיה על המרחב כך שהוא יריעה.

בניית הטופולוגיה נעשית באמצעות הטופולוגיה החלשה: הבסיס הוא ההעתקות ההפוכות φ_α^{-1}(V) עבור V פתוחה ב-R^n. כדי להבטיח שמתקבל מרחב אוסדורף מוסיפים דרישה על הכיסוי שתחזיק שני נקודות נפרדות או כיסוי מתאים.

אם מוסיפים דרישות חלקות על המעברים (למשל שהם גזירים או חלקים), מקבלים מבנה נוסף על היריעה. כך האדם מדבר על "יריעה גזירה" או "יריעה חלקה", תלוי ברמת החלקות של מפות המעבר.

ממד היריעה נקבע באופן חד-משמעי: שני מרחבים אוקלידיים הומיאומורפיים זה לזה רק אם יש להם את אותו ממד. למניעת אנומליות של היריעה הריקה לעיתים דורשים שהיריעה לא תהיה ריקה.

יריעה טופולוגית היא מרחב ש"נראה" בקרבה כמו המרחב הרגיל R^n. כלומר, סביב כל נקודה יש אזור שדומה ל-R^n.

"דומה" כאן פירושו הומיאומורפית; זה אומר שאפשר לעקם את האזור בלי לקרוע. מפת קשר בין האזור ל-R^n נקראת מפה.

אוסף המפות שנוגע בכל המרחב נקרא אטלס. הקואורדינטות המקומיות הן המספרים שמקבלים מהמפה.

יש שתי דרישות חשובות נוספות: המרחב צריך להיות אוסדורף (כל שתי נקודות ניתנות להפרדה בסביבות שונות), ושיש רשימה מונה של קבוצות פתוחות שממנה בונים את כל הקבוצות (אקסיומת המנייה השנייה).

בהרכבות בין מפות חייבות להיות ללא קפיצות, כלומר רציפות. אם ההרכבות גם חלקות, מקבלים יריעה חלקה.

ממד היריעה נקבע: לא נוכל להיות בו גם 1 גם 2 בו-זמנית. למניעת בעיות מדורשים שלא תהיה יריעה ריקה.