כאוס קוונטי

''כאוס קוונטי'' הוא ענף של תורת הגלים, ובעיקר של מכניקה קוונטית, שעוסק במערכות שבהן דינמיקת הקרניים היא כאוטית. דינמיקת הקרניים נקבעת לפי עקרון פרמה או לפי עיקרון הפעולה המינימלית, שמשמעותם היא שהמסלולים שנבחרים הם אלה שמקיימים תנאי קיצון. התחום בוחן כיצד הכאוס הקלאסי מתבטא בתכונות קוונטיות כגון צפיפות המצבים, מוליכות ומגנטיזציה.

יש ארבע גישות מרכזיות למחקר בתחום. הגישה הנומרית משתמשת בחישובים ממוחשבים, והיא גילתה כי פונקציות גל במערכות כאוטיות לעיתים מראות "צלקות", אזורים של צפיפות גבוהה לאורך מסלולים מחזוריים קלאסיים. הגישה הסמיקלאסית מקשרת בין תכונות קוונטיות למסלולים הקלאסיים, והנוסחה המרכזית בה היא נוסחת העקבה של גוצווילר, שמקשרת בין צפיפות המצבים הקוונטית למסלולים המחזוריים הקלאסיים.

הגישה הדיאגרמטית עוסקת במערכות כאוטיות לא מסודרות ומבוססת על תורת הפרעות, כלומר פיתוח במשרדי אי-הסדר במערכת. היא סייעה להסביר תכונות הולכה במערכות מזוסקופיות בטמפרטורות נמוכות. תיאור סטטיסטי פנומנולוגי משתמש בתורת המטריצות האקראיות, ענף שפותח על ידי דייסון, ויגנר ומטהה לתיאור תכונות ספקטרליות של גרעינים כבדים. גישה זו מספקת מודל סטטיסטי לרמות האנרגיה במערכות כאוטיות.

קשר חשוב הוא לקשר עם השערת רימן. פונקציית זטא של רימן,
ζ(s)=Σ_{n=1}^∞ 1/n^s, מוגדרת תחילה עבור Re s>1 וממשיכה על ידי המשכה אנליטית, הרחבה של ההגדרה לכל המרחב המרוכב. לפונקציה יש אפסים טריוויאליים בערכים השליליים הזוגיים, ואפסים לא-טריוויאליים הממוקמים ברצועה הקריטית, כלומר באזור שבו 0
אחד הרעיונות להוכחת ההשערה הוא למצוא המילטוניאן, אופרטור שקובע רמות אנרגיה, כך שהערכים העצמיים שלו הם בדיוק האפסים הלא-טריוויאליים. מערכת כזו, אם קיימת, צפויה להיות כאוטית. זאת משום שההתפלגות הסטטיסטית של האפסים זהה להתפלגות שנובעת מתורת המטריצות האקראיות, והיא דומה להתפלגות רמות האנרגיה של מערכות כאוטיות. בנוסף, ניתן לבטא את זטא על הקו הקריטי בצורה שמזכירה את נוסחת העקבה של גוצווילר. מההשוואה עולה רעיון מרתק: אורכי המסלולים המחזוריים הראשוניים יכולים להתאים למספרים הראשוניים, ומרחב מתואר כמעוקם שלילית וקבועה.

עדיין לא נמצא המילטוניאן המבוקש, אך הקשר בין כאוס קוונטי ופונקציית זטא עורר תובנות והשערות רבות, במיוחד לגבי פונקציות L של דיריכלה.

מילות מפתח: כאוס קוונטי נוסחת גוצווילר פונקציית זטא השערת רימן תורת המטריצות האקראיות המילטוניאן

כאוס קוונטי הוא ענף במכניקה קוונטית. מכניקה קוונטית היא תורת החלקיקים הקטנים. מקווים של אור או חלקיקים יכולים להתנהג בצורה כאוטית.

התחום בודק איך הכאוס הקלאסי משפיע על תכונות קוונטיות. למשל צפיפות מצבים, מוליכות ומגנטיזציה. יש כמה דרכים ללמוד את זה.

הגישה הממוחשבת עושה חישובים על מחשב. היא גילתה "צלקות" בפונקציות גל. צלקות הן אזורים עם הרבה אנרגיה סביב מסלולים מחזוריים.

הגישה הסמיקלאסית מקשרת בין המסלולים של המערכת לתכונות הקוונטיות. נוסחת העקבה של גוצווילר קושרת בין צפיפות המצבים למסלולים המחזוריים.

יש גם גישה שמחקרת מערכות לא מסודרות בעזרת תורת הפרעות. היא עוזרת להבין הולכה בחומרים קטנים ובטמפרטורות נמוכות. ויש תורת המטריצות האקראיות. זהו מודל סטטיסטי שפיתחו כדי לתאר רמות אנרגיה בגרעינים.

פונקציית זטא של רימן היא סכום מתמטי שעושים בו סדרות של מספרים. לפונקציה יש אפסים. אפסים הם נקודות שבהן הפונקציה שווה לאפס. יש אפסים פשוטים ואחרים שנקראים לא-טריוויאליים. לפי השערת רימן, כל האפסים הלא-טריוויאליים נמצאים על קו מסוים בערך חצי.

יש רעיון למצוא אופרטור שיחשוף את האפסים האלה כ"רמות אנרגיה". אופרטור כזה נקרא המילטוניאן, והוא קובע אנרגיות של מערכת. אם הוא יימצא, הוא כנראה ייצג מערכת כאוטית, כי ההתפלגות של האפסים דומה להתפלגות במערכות כאוטיות.

הקשר בין הזטא לכאוס הוביל לרעיונות חדשים, כולל שאלות על פונקציות L של דיריכלה.