כלל הסנדוויץ'

כלל הסנדוויץ' הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי (ענף המתמקד בהתנהגות פונקציות וסדרות כשהן מתקרבות לערכים). הרעיון המרכזי פשוט: אם סדרה או פונקציה a נמצאת כל הזמן בין שתי סדרות או פונקציות b ו-c, והחוסמות b ו-c מתקרבות לאותו גבול L, אז גם a מתקרבת ל-L.

אם נכתוב זאת בצורה קצרה עבור סדרות: אם מתקיים b_n ≤ a_n ≤ c_n לכל n, ו- lim b_n = lim c_n = L, אז גם lim a_n = L. אותו רעיון תקף גם לפונקציות: אם f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) סביב נקודה x0, ושתי החוסמות f ו-h מתקרבות ל-L בנקודה זו, אז גם g מתקרבת ל-L.

מקרה פרטי שימושי הוא כאשר אחת החוסמות היא קבועה, למשל 0. קיימת גם גרסה לאינסוף (לעתים קוראים לה "כלל הפיצה" או "כלל חצי סנדוויץ'"): אם a_n≥b_n ול- b_n → ∞ אז גם a_n → ∞.

הרעיון ההיסטורי: ארכימדס השתמש ברעיון דומה כדי למצוא היקף מעגל. הוא חסם את המעגל במצולעים ופיתח את שיטת המיצוי. את הניסוח המדויק נתן גאוס.

נקיים הוכחה קצרה עבור סדרות. קחו ε>0 קטן כלשהו (מדד המרחק). מאחר ש-b_n ו-c_n מתכנסות ל-L, יש מקומות N1 ו-N2 שמעצבטים את b_n ו-c_n עד מרחק ε מל-L. קחו N גדול משניהם. עבור כל n>N חלות שתי חסימות קרובות ל-L, ולפיכך גם a_n חייבת להיות בתוך מרחק ε מ-L. כי ε היה כל מספר חיובי, נקבל lim a_n = L.

נחשב a_n = √[n]{5^n+7^n}. נראה שאפשר לחסום אותה כך: 7 ≤ a_n ≤ 7·2^{1/n}. שתי החוסמות מתקרבות ל-7 כשה-n גדל, ולכן גם a_n → 7. אפשר להכליל זאת: עבור סכום סופי של מספרים לא שליליים d_1,...,d_k מתקיים שהשורש ה-n של הסכום שואף למקסימום ביניהם.

הדוגמה הקלאסית היא lim_{x→0} x·sin(1/x). ידוע ש- -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1, ולכן -x ≤ x·sin(1/x) ≤ x. שני הגבולות של -x ו-x כש-x→0 הם 0, ולכן גם הגבול של x·sin(1/x) הוא 0.
אותה שיטה עובדת עבור x^2·sin(1/x). כי -1 ≤ sin(1/x) וגם x^2 הוא חיובי, מקבלים -x^2 ≤ x^2·sin(1/x) ≤ x^2. שני הגבולות החוסמים שואפים ל-0, ולכן גם הגבול של הביטוי המוחזר הוא 0.

כלל הסנדוויץ' אומר: אם משהו לכוד בין שני דברים שיש להם אותו ערך, גם הוא מקבל את אותו הערך.

(גבול = הערך שאליו משהו מתקרב.)

נניח שיש שתי סדרות שמתקרבות לאותו ערך L. אחרי מקום מסוים הן קרובות ל-L מאוד. אם סדרה שלישית תמיד ביניהן, גם היא חייבת להיות קרובה ל-L. לכן היא מתקרבת ל-L גם כן.

קחו a_n = שורש n של (5^n+7^n). הוא תמיד גדול או שווה ל-7. הוא גם קטן ממשהו שקרוב ל-7. אז כשה-n גדול, a_n קרוב מאוד ל-7.

פונקציה ידועה היא x·sin(1/x). (sin = פונקציה שמקבלת מספר בין -1 ל-1.) לכן x·sin(1/x) תמיד בין -x ל-x. כש-x שואף ל-0, גם -x וגם x שואפים ל-0. לכן גם x·sin(1/x) שואף ל-0.

דוגמה דומה: x^2·sin(1/x). כי x^2 הוא חיובי וקטן מאוד ליד 0, גם הביטוי הזה שואף ל-0.