כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה

כלל לייבניץ (כלל המכפלה) עוסק בגזירת מכפלה של פונקציות. נגזרת היא קצב השינוי של פונקציה לפי המשתנה.

הצורה הבסיסית של הכלל היא:
(f·g)' = f' g + f g'
זה אומר: כשמחשבים את הנגזרת של מכפלה, נגזרים אחת מהפונקציות ומשאירים את השנייה כפי שהיא, ואז מוסיפים את המקרה ההפוך. בסימון לייבניץ זה נכתב גם כך: d(uv)/dx = (du/dx) v + u (dv/dx).

ניתן להראות את הכלל ישירות מתוך ההגדרה של נגזרת, באמצעות גבול של יחס השינוי. מחלקים את ההפרש לשתי חתיכות ומקבלים את הסכום של שני הגבולות, שהם בדיוק f'(x)g(x) ו-f(x)g'(x).

מכאן נובעת גם נוסחת האינטגרציה בחלקים (integration by parts), שנוסחתה:
∫ u v' dx = u v − ∫ u' v dx
נוסחה זו מתקבלת על ידי חיבור ובדיקה פשוטה של הנגזרות.

יש עוד דרך להוכיח את הכלל כאשר הפונקציות חיוביות: משתמשים בכלל השרשרת (chain rule) ולוגריתם טבעי ln. כי ln(fg)=ln f + ln g, נגזור ונקבל יחס של הנגזרות המוביל לכלל.

לייבניץ הרחיב את הכלל לנגזרת ה-n-ית (נגזרת מסדר n):
(f·g)^{(n)} = Σ_{k=0}^n (n choose k) f^{(k)} g^{(n−k)}
כאן (n choose k) הוא המקדם הבינומי. הנוסחה דומה לנוסחת הבינום של ניוטון, וההוכחה לשתיהן נעשית באינדוקציה.

את הכלל אפשר להכליל למכפלה של יותר משתי פונקציות. לדוגמה:
(uvw)' = u' v w + u v' w + u v w'
באופן כללי אם f(x)=∏_{i=1}^n f_i(x), אז
f' = Σ_{i=1}^n f_i' · ∏_{k≠i} f_k.
אם אף פונקציה לא שווה לאפס, אפשר גם לכתוב יחס לנגזרת של הלוגריתם של המכפלה כסכום של יחסיות הנגזרות.

כלל לייבניץ נקרא גם כלל המכפלה. הוא עוזר למצוא את הנגזרת של מכפלת פונקציות. נגזרת היא מדד לשינוי.

הכלל הפשוט:
(f·g)' = f' g + f g'
זה אומר: נגזרים פעם אחת את הפונקציה הראשונה ומשאירים את השנייה, ואז נחבר את זה עם ההיפך.

ממחשבים את הגבול שמגדיר נגזרת. מפצלים את ההפרש לשתי חלקים. כל חלק נותן אחד מהחברים בסכום.

הכלל עוזר גם באינטגרציה בחלקים. זו דרך להפוך אינטגרל של מכפלה למשהו אחר.

יש גם גרסה לנגזרת מסדר n. היא אומרת שהנגזרת ה-n של מכפלה היא סכום של מונחים רבים. בכל מונח נגזרים חלק מהפונקציות.

לדוגמה לשלוש פונקציות u,v,w:
(uvw)' = u' v w + u v' w + u v w'
כל פעם נגזרים פונקציה אחרת ושומרים את השאר.