לוגיקה

לוגיקה (מיוונית: λογική; בעברית: תורת ההיגיון) היא תחום שעוסק בקשרים ההיגיוניים בין טענות. היא בוחנת את הצורה של טיעונים ומנסחת כללים לבניית היסקים תקפים. מטרותיה הן לזהות מתי המעבר מהנחות למסקנה מוצדק, ומהם המגבלות של שיטות היסק שונות.

היסטוריה קצרה:
הלוגיקה התחילה בפילוסופיה היוונית. אפלטון חקר את ההבחנה בין טיעונים סותרים לעקביים, ופיתח דיאלקטיקה, שיטת שאלות ובדיקה. אריסטו סידר את הלוגיקה והגדיר סילוגיזם, טיעון עם שתי הנחות ומסקנה. הוא זיהה את מושגי היסוד: מונח, טענה, טיעון והיסק. אריסטו גם קבע את החוקיות הבסיסית: חוק אי-הסתירה וחוק השלישי הנמנע.

אריסטו בדק צורות טיעון ודרש שהתקפות תלוייה בצורה בלבד. תקפות (validity) פירושה שהמסקנה נובעת מכל מצב שבו ההנחות אמיתיות. נאותות (soundness) פירושה שהטיעון תקף ואף ההנחות אמיתיות בפועל. דוגמה לצורת סילוגיזם תקפה:
# כל א הוא ב
# כל ב הוא ג
מסקנה: כל א הוא ג
אריסטו הדגיש גם טיעונים שכוללים כמותיות, כמו "כל" ו"חלק מ-" וכן שלילה. הוא פיתח כללי המרה כדי להמיר בין סוגי טענות.

מגבלותיו של אריסטו כללו חוסר הבעה של צורות כמו תנאי (אם א אז ב) ויחסים מורכבים בין פריטים, וכן הנחת קיום שעוברת מטענה כללית להסקת קיום.

התפתחות מודרנית:
במאה ה-19 מתמטיקאים ואנליטיקאים פיתחו לוגיקה אלגברית וסימבולית. גוטלוב פרגה המציא תחשיב הפרדיקטים ואת תורת הכימות (quantification). בתחשיב הפרדיקטים הפרדיקט (תכונה או יחס) והמושאים מובהרים באופן פורמלי. פרגה איפשר לנסח יחסים דו-מקומיים ולנסח טענות עם כימותים מרובים, למשל "לכל x קיים y כך ש- Rxy".

פרגה גם פיתח עמדות פילוסופיות על טבע החוקיות הלוגית: דחיית הפסיכולוגיזם (החוקים אינם תלויים במחשבה האנושית), חשיבות הקונטקסט וההבחנה בין מושג למושא. עבודתו הובילה לבעיות, כמו פרדוקס ראסל, שסיכנו אקסיומות מסוימות של פרגה.

הלוגיקה המודרנית היא סימבולית. היא מבחינה בין תחביר (syntax), הכללים הבנייתיים של שפה פורמלית, ובין סמנטיקה (semantics), פירוש ומשמעות של נוסחאות. חוקי תקפות, נאותות ושלמות (completeness, soundness) בוחנים את הקשר בין הוכחה פורמלית לבין אמת סמנטית. קורט גדל הראה כי מערכות חזקות דיו אינן שלמות לחלוטין: קיימות טענות נכונות שאי-אפשר להוכיחן בתוך המערכת (משפט אי-השלמות).

תחשיבים מרכזיים:
תחשיב הפסוקים (propositional calculus) מתמקד בקשרים בין טענות שלמות. הצרנה (החלפת משפטים בסיסיים בסימנים) מקלה על ניתוח טיעונים. הקשרים הלוגיים המקובלים הם: שלילה, וגם (קוניונקציה), או (דיסיונקציה), אם-אז (תנאי) ואם-ורק-אם (תנאי כפול). טבלאות אמת מייצגות את ערכי האמת ומאפשרות בדיקת תקפות.

תחשיב הפרדיקטים מאפשר להבין את מבנה הטענה הפנימי. מופיעים בו פרדיקטים (תכונות או יחסים), שמות, ומשתנים. הכמתים, הכמת הכולי (∀) והכמת הקיומי (∃), מגדירים מילת "כל" ו"יש" בטענות. בעזרת תחשיב זה אפשר לבטא טענות מורכבות כמו "לכל x קיים y כך ש-Rxy".

ענפים ושיטות נוספות:
לוגיקה מודלית מוסיפה אופרטורים של הכרח ואפשרי, ומתאימה לניתוח מושגים כמו חובה וזמן. לוגיקה אינטואיציוניסטית דוחה את חוק השלישי הנמנע ולא מאפשרת הוכחות בדרך השלילה. לוגיקה עמומה (fuzzy logic) מטפלת במצבים של דרגות אמת ולא רק אמת/שקר.

לסיכום קצר: הלוגיקה זוהי דיסציפלינה שעברה מהתמקדות בצורות טיעון פשוטות אצל אריסטו, אל פורמליזציות חזקות מאוד שמשרתות היום מתמטיקה, פילוסופיה ומדעי המחשב. היא חוקרת מבנים צורניים של טענות, כללים של הוכחה, ואת יחסי התחביר והסמנטיקה של מערכות פורמליות.

לוגיקה היא חקר איך לחשוב נכון. היא בודקת מתי מסקנה נובעת מהנחות.

ביוון העתיקה חשבו על טיעונים. אפלטון שאל שאלות כדי לבדוק עקביות. אריסטו ארגן שיטות לקשר בין משפטים. הוא המציא סילוגיזם ".סילוגיזם" זה טיעון עם שתי הנחות ומסקנה.

אריסטו קבע כללים חשובים:
# חוק אי-הסתירה: דבר לא יכול להיות נכון ושקרי בו־זמנית.
# חוק השלישי הנמנע: כל טענה היא אמיתית או שקרית.
דרך מיוחדת להוכיח טענה היא ה‎"הוכחה על דרך השלילה". משוללים הנחה ועד שמגיעים לסתירה.

מאוחר יותר פיתחו לוגיקאים דרכים לכתוב טיעונים בסימנים. פרגה המציא שיטה לשים פרדיקטים (תכונות או יחסים) ולכתוב כמותים: "לכל" (∀) ו"קיים" (∃). זה מאפשר לומר משפטים כמו "לכל אחד יש חבר".

הלוגיקה עוזרת למדענים ולמחשבים. יש סוגים שונים של לוגיקה:
- לוגיקה מודלית: מדברת על מה הכרחי ומה אפשרי.
- לוגיקה אינטואיציוניסטית: לא מקבלת תמיד את חוק השלישי.
- לוגיקה עמומה: עובדת עם דרגות אמת, לא רק "אמת" או "שקר".

לוגיקה פשוטה עוזרת להבין מתי טיעון אמין ומתי יש בו טעות.