מטריצה מצורפת

באלגברה ליניארית, המטריצה המצורפת (adj(A)) של מטריצה ריבועית A היא מטריצה שניתן לחשב לכל מטריצה ריבועית, גם אם היא אינה הפיכה.

הגדרה פורמלית: כל איבר של adj(A) נכתב
adj(A)_{i,j} = (-1)^{i+j} \,\det(M_{j,i})
כאשר M_{j,i} הוא המינור של האיבר בשורה j ועמודה i. מינור הוא המטריצה שנשארת כשמוחקים את שורה j ואת עמודה i מ‑A. המקדם (-1)^{i+j} נותן סימן + או - לפי האם i+j זוגי או אי זוגי.

לדוגמה, למטריצה מסדר 2×2
A = (1 2
3 4)
מתקבל
adj(A) = (4 -2
-3 1)
כאן כל איבר הוא דטרמיננטת המינור המתאים, עם הסימן המתאים.

למטריצות 3×3 נהוג לבנות תחילה את מטריצת הקופקטורים (cofactor), שבה כל כניסה היא דטרמיננטת מינור עם סימן, ואז לקחת את הטרנספוזיציה (החלפה של שורות בעמודות) כדי לקבל את adj(A).

לכל מטריצה ריבועית A מסדר n מתקיים:
A·adj(A) = adj(A)·A = det(A)·I
כאשר I היא מטריצת היחידה (מטריצה עם 1s על האלכסון ו‑0 בשאר המקומות). כלומר, כפל A במטריצה המצורפת נותן את מטריצת היחידה מוכפלת בדטרמיננטה של A.

ניתן לראות זאת על ידי כפל ישיר: ברכיב הרגיל של המוצר מופיע פיתוח דטרמיננטה. אם השורות שונות מתקבל אפס, ואם הן שוות מתקבלת בדיוק det(A).

המטריצה המצורפת שימושית לחישוב הופכי של מטריצות הפיכות ולניתוח תכונות הקשורות לדטרמיננטה ולקופקטורים.

מטריצה מצורפת קוראים לה adj(A). זוהי מטריצה בונים מכלל המטריצה A.

איך בונים כל איבר?
לוקחים את המטריצה שנשארת אחרי שמוחקים שורה ועמודה. זו נקראת מינור. מחשבים עליה דטרמיננטה (מספר שמתאים למטריצה הקטנה). נותנים לה סימן + או - לפי האם סכום השורה והעמודה זוגי או אי זוגי.

למטריצה 2×2 פשוטה
A = (1 2
3 4)
המטריצה המצורפת היא
adj(A) = (4 -2
-3 1)
כל איבר שם הוא הדטרמיננטה של המינור המתאים, עם הסימן.

כפל של A במטריצה המצורפת שלה נותן את מטריצת הזהות כפול הדטרמיננטה של A.
מטריצת זהות היא מטריצה עם 1 על האלכסון ו‑0 במקום אחר.

המטריצה המצורפת עוזרת להבין דטרמיננטות ולמצוא הופכי של מטריצות כשהן הפיכות.