צורה רציונלית

באלגברה ליניארית, הצורה הרציונלית הקנונית של מטריצה A היא מטריצת בלוקים מיוחדת שדומה לה. הצורה הזו ייחודית מעל כל שדה F (שדה = מערכת מספרים שבה אפשר לחבר, לחסר, להכפיל ולחלק, חוץ מאפס). היא מדגישה את פירוק הפולינום האופייני של המטריצה ואת הקשר בין הפולינום לפעולת המטריצה על תתי‑מרחבים מיוחדים.
מטריצות מייצגות העתקות ליניאריות אחרי בחירת בסיס. מטריצות שמייצגות את אותה העתקה בבסיסים שונים הן דומות זו לזו. לכן מחפשים נציג קנוני יחיד בכל מחלקת דמיון, כדי לפשט חישובים ולהכריע אם שתי מטריצות מייצגות את אותה העתקה.
לומדים את A דרך המודול מעל חוג הפולינומים F[λ]. מודול זה הוא כמו מרחב וקטורי, אך המכפלה נעשית בפולינומים במקום במספרים. בהגדרה λ·v = Av, ולכן מטריצת היחסים היא λI−A. על המטריצה הזו מבצעים פעולות הפיכות על שורות ועמודות כדי להביא אותה לצורה קנונית אלכסונית, שבה כל גורם על האלכסון מחלק את הגורם שאחריו.
המשפט המרכזי של תורת המבנה של מודולים מעל תחום ראשי מבטיח שניתן לפרק את המודול לסכום של מודולים ציקליים. האיברים על האלכסון של הצורה הקנונית נקראים הגורמים האינווריאנטיים. הצורה הרציונלית הקנונית של A היא מטריצת בלוקים אלכסונית, שבה כל בלוק הוא מטריצת מלווה (companion matrix) של גורם אינווריאנטי.
הגורם האינווריאנטי האחרון הוא הפולינום המינימלי של A (הפולינום הקצר ביותר שמאפס את A), והמכפלה של כל הגורמים שווה לפולינום האופייני. חשוב: הצורה הרציונלית מוגדרת מעל כל שדה. צורת ז'ורדן מוגדרת רק אם הפולינום האופייני מתפצל לגורמים ליניאריים; במקרה כזה צורת ז'ורדן היא צמודה לצורה הרציונלית.

צורה רציונלית קנונית היא דרך מיוחדת לסדר מטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. היא מראה איך המטריצה עושה פעולה על וקטורים.
המטרה היא למצוא נציג פשוט לכל קבוצת מטריצות דומות. שתי מטריצות דומות מייצגות את אותה פעולה.
עושים זאת בעזרת פולינומים. פולינום הוא ביטוי כמו λ^2+3λ+2. עובדים עם חוקים של חיבור וכפל בפולינומים.
בונים משהו שנקרא מודול. מודול הוא כמו מרחב וקטורי, אבל משתמשים בפולינומים במקום במספרים. בשיטה זו בודקים את המטריצה λI−A ומסדרים אותה לצורת בלוקים פשוטה.
כל בלוק קשור לפולינומים חשובים. הפולינום האחרון הוא הפולינום המינימלי. אם כופלים את כל הפולינומים מקבלים את הפולינום האופייני.
הצורה הרציונלית קיימת תמיד, גם אם לא ניתן לפרק את הפולינום לחלקים פשוטים. צורת ז'ורדן קיימת רק כשאפשר לפרק את הפולינום לגורמים פשוטים.