פולינום מינימלי של איבר בּאלגברה הוא הפולינום (פונקציה של x עם מקדמים) בעל המעלה הקטנה ביותר שכשמחליפים בו את האיבר מקבלים אפס. אם קיים פולינום כזה, האיבר נקרא אלגברי (כלומר הוא שורש של פולינום). איבר שאין לו פולינום אפס כזה נקרא טרנסצנדנטי (לא נפתר על ידי אף פולינום עם מקדמים מחוג הבסיס).
דוגמה פשוטה: עבור שדה המספרים הרציונליים, הפולינום המינימלי של שורש קובייתי של 2 הוא x^3-2, כי הוא מאפס את השורש ואין פולינום רציונלי ממעלה נמוכה יותר שמאפס אותו. גם למטריצה ריבועית A יכול להיות פולינום מינימלי; למשל עבור A=
(3 4; 1 -1) הפולינום המינימלי הוא x^2-2x-7, כי A^2-2A-7I=0.
כאשר הבסיס S הוא שדה, מקובל לבחור את הפולינום המינימלי מתוקן (המקדם המוביל = 1). אז הוא קיים ויחיד. אם הבסיס הוא חוג כללי, ייתכנו בעיות ייחודיות או קיום; עם זאת, אם S הוא תחום פריקות יחידה (UFD, תחום שבו פירוק לגורמים אי-פריקים הוא יחיד במידה מסוימת), קיים פולינום מינימלי יחיד שהוא פרימיטיבי (מקדמיו אין להם מחלק משותף גדול מ-1).
חשוב לזכור שהפולינום המינימלי תלוי בחוג או בשדה שמעליו מגדירים את הפולינום. לדוגמה, עבור a = √2 + i, מעל הממשיים אפשר למצוא פולינום ממעלה 2, מעל הרציונליים מקבלים פולינום ממעלה 4, ומעל המרוכבים הפולינום הליניארי x-(√2+i).
במקרה של מטריצות חלה משפט קיילי, המילטון: הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. לשני הפולינומים יש אותם גורמים אי-פריקים. הפולינום המינימלי חשוב כשמעבירים מטריצה לצורה קנונית רציונלית או לצורת ז'ורדן. ריבוי שורש בפולינום המינימלי קובע את גודל בלוק הז'ורדן הגדול ביותר לאותו שורש.
אם A הוא תחום שלמות שהוא אלגברה מעל שדה F, הפולינום המינימלי f של איבר a הוא אי-פריק (לא ניתנת לפירוק לגורמים לא-טריביאליים). בנוסף, אם חוג הפולינומים h מריצה את a (h(a)=0), אז הפולינום המינימלי f מחלק את h. תת־החוג F[a] שנוצר על ידי a הוא שדה זמני, וממדו מעל F שווה למעלה של f.
בתחום פריקות יחידה A, אם a אלגברי מעל שדה השברים של A, קיים פולינום מינימלי יחיד P שהוא פרימיטיבי. כל פולינום אחר שמאפס את a נחלק ב-P. תוצאה שימושית היא שהומומורפיזם של חוגים ניתן להרחבה דרך שורשים מתאימים, ומכאן שתחום פריקות יחידה הוא סגור בשלמות (integrally closed).
לאלגברה מממד סופי A מעל שדה F ניתן להגדיר פולינום מינימלי גנרי. בוחרים בסיס b_1,...,b_n של A, ונבנה איבר סימבולי X = x_1 b_1 + ... + x_n b_n בסקלרים המורחבים לשדה של פונקציות F(x_1,...,x_n). קיים פולינום מינימלי מתוקן P(λ) המאפס את X; הוא נקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A. המעלה m של P נקראת גם דרגת A.
כאשר כותבים P(λ)=λ^m - s_1(x)λ^{m-1} + ... + (-1)^m s_m(x), המקדמים s_i הם פולינומים הומוגניים במשתנים x_i. על ידי הצבה אפשר לקבל פולינומים שממאפסים איברים ספציפיים של A. המקדמים החשובים הם s_1 וה-s_m: s_1 היא העקבה הגנרית (trace, סכום הערכים במשפט המטריצי) ו-s_m היא הנורמה הגנרית (norm, דומיננטה במקרה של מטריצות). עבור אלגברת המטריצות, s_1 תואמת לעקבה ו-s_m תואמת לדטרמיננטה. פונקציות אלה משמשות לבדיקות מבניות על האלגברה, למשל בתנאי ספרביליות בתנאים מסוימים.
פולינום מינימלי הוא הפולינום הקצר ביותר שמאפס איבר. פולינום הוא סכום של חזקות x עם מספרים כמקדמים. אם שם האיבר בהצבה הופך את הפולינום לאפס, הוא שורש.
איבר שיש לו פולינום כזה נקרא אלגברי. אם אין שום פולינום שמאפס אותו, הוא נקרא טרנסצנדנטי. דוגמה: השורש הקובייתי של 2 (המספר שמכפילים אותו שלוש פעמים ומקבלים 2) מקיים x^3-2.
גם למטריצה יכול להיות פולינום מינימלי. לדוגמה למטריצה A קטנה יש פולינום x^2-2x-7 כי כשמחשבים A^2-2A-7I מקבלים אפס.
למטריצה יש גם פולינום אופייני. משפט קיילי, המילטון אומר שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני. זה עוזר להכניס מטריצה לצורת ז'ורדן, צורה מסודרת שמראה מבנה פנימי.
אם יש אלגברה מממד סופי, אפשר לבנות איבר כללי X עם משתנים. יש לו פולינום מינימלי גנרי. המקדמים של פולינום זה הם פונקציות בשם עקבה ונורמה. בעבור מטריצות, העקבה היא סכום האלכסון והנורמה היא הדטרמיננטה.
תגובות גולשים