ממוצע הרמוני

ממוצע הרמוני הוא סוג של ממוצע שמתאים במיוחד ליחסי קצב ושיעורים.

למערכת של n מספרים חיוביים x1,...,xn הממוצע ההרמוני H מוגדר כך: H = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn). כלומר, לוקחים את ההופכיים של המספרים (ההופכי של מספר הוא 1 חלקי המספר), מחשבים את הממוצע שלהם ואז לוקחים את ההופכי של התוצאה.

ממוצע הרמוני הוא אחד משלושת "הממוצעים הפיתגוריים" יחד עם הממוצע החשבוני (arithmetic mean) והממוצע ההנדסי (geometric mean). עבור קבוצת ערכים עם לפחות שני איברים שונים, הממוצע ההרמוני הוא הקטן מבין השלושה. אם כל האיברים שווים, כל הממוצעים שווים.

לשני מספרים x1 ו-x2 יש נוסחה פשוטה: H = 2·x1·x2/(x1 + x2). הקשר בין הממוצעים הוא H = G^2 / A, כאשר A הוא הממוצע החשבוני ו-G הוא הממוצע ההנדסי (G = sqrt(x1·x2)).

עם משקלים w1,...,wn נגדיר ממוצע הרמוני משוקלל כ: (sum w_i) / (sum (w_i / x_i)). כאשר כל המשקלים שווים מקבלים את הממוצע ההרמוני הרגיל.

אם נוסעים מרחק זהה פעמיים במהירויות 60 קמ"ש ו-40 קמ"ש, המהירות הממוצעת היא ממוצע הרמוני: 48 קמ"ש. חישוב ממוצע חשבוני (50) שגוי כאן, כי הקטע האיטי תפס יותר זמן ולכן משפיע חזק יותר.
אם מחלקים זמן שווה בין מהירויות שונות, הממוצע יהיה חשבוני.

חיבור נגדים במקביל מניב אפקט של ממוצע הרמוני של ההתנגדויות. בחיבור בטור משתמשים בממוצע חשבוני.

במשימות של עבודה משותפת משתמשים גם כן בממוצע הרמוני. לדוגמה, שתי משאבות שמרוקנות ב-4 וב-6 שעות יחד יסיימו ב-2.4 שעות. הממוצע ההרמוני מופיע גם בהידרולוגיה ובאנליזות סטטיסטיות של ביצועי שחקני בייסבול.

ממוצע הרמוני הוא דרך לחבר מספרים שקשורה לקצבים.

כיצד מחשבים אותו? קודם לוקחים את ההופכים של המספרים. ההופכי של מספר הוא 1 חלקי אותו מספר. אחר כך עושים ממוצע של ההופכים. בסוף לוקחים את ההופכי של התוצאה.

יש גם ממוצע חשבוני שמכפיל ומחלק בדרך הרגילה. יש ממוצע הנדסי שמחשבים על ידי שורש. כשהמספרים שווים, כל הממוצעים נותנים אותו ערך.

לשני מספרים יש נוסחה פשוטה שניתן להשתמש בה כדי לחשב את הממוצע ההרמוני שלהם.

אם נוסעים מרחק זהה פעמיים במהירות 60 ובמהירות 40 קמ"ש, המהירות הממוצעת נכונה היא 48 קמ"ש. זה לא 50, כי בנסיעה האיטית לקחו יותר זמן.

אם שתי משאבות מרוקנות בריכה ב-4 שעות וב-6 שעות, ביחד ייקח להן כ-2.4 שעות.

ממוצע הרמוני גם עוזר לחשב תכונות של זרימות במים ולמדוד חלק מביצועי שחקני בייסבול.