הרכבת פונקציות

בהרכבת פונקציות מפעילים פונקציה אחת אחרי השנייה. הסימון המקובל הוא ∘ (עיגול).

אם נתונות קבוצות X, Y, Z והפונקציות f
def: X→Y ו‑g
def: Y→Z, ההרכבה g ∘ f היא פונקציה מ‑X ל‑Z. היא מוגדרת כך: לכל x בתורה
מחשבים קודם y = f(x), ואז g(y). ההרכבה קיימת רק אם תמונת f מתאימה לתחום של g.

התכונה המרכזית של ההרכבה היא אסוציאטיביות: אם אפשר להרכיב h על g ועל f, אז
h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. בגלל זה, פעולות של פונקציות חוזרות ונשנות רבות הן
אסוציאטיביות. למשל, כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה יוצרות מונויד - מבנה אלגברי
עם אופרטור ההרכבה וזהות.

פונקציה שהיא גם חד‑חד‑ערכית (כלומר לכל תוצאה יש מקור יחיד) וגם על (מכסה את
כל היעד) נקראת הופכית. פונקציה הופכית g מקיימת g ∘ f = id_X וגם f ∘ g = id_Y.
הופכיות כזו היא יחידה אם קיימת, ומסמנים אותה בדרך כלל ב‑f^{-1}.

הרבה פונקציות שעוברים עליהן בחישובים הן הרכבות של פונקציות פשוטות,
נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל f(x)=e^{\sin(x^2)} היא ההרכבה exp ∘ sin ∘ s,
כאשר s(x)=x^2.

באשר לגבולות: אם כאשר x שואף ל‑x_0 מתקבל y_0 = lim f(x), וגם כאשר y שואף
ל‑y_0 מתקבל lim g(y)=L, אז lim_{x→x_0} g(f(x)) = L. במקרה שהפונקציה g רציפה ב‑y_0
או שפונקציית f לא שווה לערך y_0 בסביבה של x_0, גם g(lim f(x)) = L מתקיים.

לבסוף, כלל השרשרת נותן את הנגזרת של הרכבת פונקציות. הנגזרת של הרכבה
נקבעת לפי נגזרות המרכיבים שלה.

הרכבה של פונקציות פירושה להפעיל פונקציה אחרי אחרת.
מפעילים קודם את הראשונה, מקבלים תוצאה, ואז מפעילים עליה את השנייה.

אם אפשר להרכיב שלוש פונקציות יחד, לא משנה באיזה סוגריים שמים.
זאת אומרת התוצאה לא משתנה אם מקבצים את ההרכבות אחרת.

יש פונקציות שאפשר להחזיר מהן את המספר המקורי. אלו נקראות הפיכות.
פונקציה שמחזירה את אותו ערך בלי לשנות אותו קוראים פונקציית זהות.

הרבה פונקציות במתמטיקה הן שילוב של כמה פונקציות פשוטות.
דוגמה: e^{sin(x^2)} היא הרכבה של שלוש פונקציות - ריבוע, ואז סינוס, ואז הפעלה של e.

אם התוצאות של f קרובות לערך מסוים, וגם g מתנהגת טוב ליד אותו ערך,
אז ההרכבה g(f(x)) תהיה קרובה לתוצאה המתאימה.

כלל השרשרת עוזר לחשב את השיפוע (הנגזרת) של פונקציה שמורכבת מפונקציות אחרות.