אי-שוויון הממוצעים

אי-שוויון הממוצעים קושר בין ארבעה סוגי ממוצעים של סדרת מספרים חיוביים: הממוצע ההרמוני (המספר n לחלק לסכום ההופכים), הממוצע ההנדסי (השורש ה-n של מכפלת המספרים), הממוצע החשבוני (סכום המספרים חלקי n) ושורש ממוצע הריבועים (המשמעותי ביותר להערכת גודל הריבועים). היחסים הם:
H_n ≤ G_n ≤ A_n ≤ RMS_n
השוויון בכל אחד מהם מתקיים רק אם כל המספרים שווים.

שלושת הממוצעים האלה נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה. הם משמשים בהקשרים שונים שבהם "ממוצע" מתאים להערכה אחרת.

כדי להראות את הקשרים אפשר להשתמש בכמה שיטות שונות.

עבור שני מספרים a ו-b מתקיים: הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. הוכחה קצרה מסתמכת על העובדה שהריבוע של הפרש הוא לא-שלילי. מהמשוואה (a-b)^2≥0 מקבלים במהירות ש-
√(ab) ≤ (a+b)/2. מכאן גם שהממוצע ההרמוני קטן או שווה להנדסי.

קושי (Cauchy) הוכיח את G_n ≤ A_n בעזרת "אינדוקציה הפוכה". הוא הראה שני צעדים עיקריים:
1) אם האי-שוויון נכון ל-n מספרים, אז הוא נכון גם ל-2n מספרים, לכן לכל 2^m.
2) אם הוא נכון לקבוצת גודל מסוים, אז נכון גם לקבוצות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר הוא קטן מחזקה של שתיים כלשהי, מכאן האי-שוויון נכון לכל n.
הטיעון משתמש בחיבור ממוצעים של שתי קבוצות ובמקרה n=2 כדי לעבור ל-2n.

אפשר להשתמש גם באי-שוויון ינסן (לפונקציות קמורות). אם נבחר את הפונקציה exp ונגדיר x_i=ln(a_i), מקבלים את חצי השרשרת G_n ≤ A_n בקלות.

במקרה של שני מספרים ניתן גם להכניס את הממוצע הלוגריתמי בין G ו-A. הוא מוגדר בעזרת הלוגריתמים ונמצא בין הממוצע ההנדסי לממוצע החשבוני.

ניתן לגבש גרסה משוקללת של האי-שוויון על ידי חזרה על רכיבים מספר פעמים, או על ידי שימוש במקדמי משקל חיוביים p_k שסכומם P. כך מקבלים את הצורה המשוקללת:
הגרסה המשוקללת מחליפה את ממוצע הפשוט בממוצע שבו כל ערך שקול לפי משקלו.
יש גם הכללות נוספות הקשורות לממוצעים של חזקות שונות, כאשר פונקציית הממוצע לפי חזקת α עולה עם α, וזה מוביל לשרשרת הממוצעים המוכרת כאשר α משתנה.

יש כמה דרכים לחשב "ממוצע" של מספרים. הנה ארבעה מהם:
- ממוצע הרמוני: n חלקי סכום ההופכים. ההופך של מספר הוא 1 חלקי המספר.
- ממוצע הנדסי: השורש של מכפלת כל המספרים.
- ממוצע חשבוני: סכום המספרים חלקי n.
- שורש ממוצע הריבועים: שורש של ממוצע הריבועים של המספרים.
כל הממוצעים האלה מסודרים כך: הממוצע ההרמוני לא גדול מהממוצע ההנדסי. הממוצע ההנדסי לא גדול מהממוצע החשבוני. הממוצע החשבוני לא גדול משורש ממוצע הריבועים.
אם כל המספרים שווים, כל הממוצעים יהיו אותו דבר.

כל הממוצעים נמצאים בין המספר הקטן ביותר לגדול ביותר ברשימה.

אם יש רק שני מספרים, הממוצע ההנדסי תמיד קטן או שווה לממוצע החשבוני. אם שני המספרים זהים, שני הממוצעים שווים.

אפשר לתת לכל מספר משקל שונה. אז הממוצע תלוי במשקלים. יש גם צורות נוספות של ממוצעים שקשורות בחזקות של המספרים.