מרחב אוקלידי

במתמטיקה, מרחב אוקלידי הוא הכללה של המישור ושל המרחב התלת־ממדי. המונח 'אוקלידי' מגיע מאוקלידס, המתמטיקאי היווני. מרחבים אלה שונים ממרחבים מעוקמים של הגיאומטריה הלא־אוקלידית.

אפשר לדמיין את המישור האוקלידי כקבוצת נקודות שמכירה מרחקים וזוויות. יש בה פעולות פשוטות כמו העתקה (הזזה של כל הנקודות יחד) וסיבוב סביב נקודה קבועה. שתי צורות נחשבות שוות אם מעבירים אחת לשנייה בעזרת העתקות, סיבובים ושיקופים.

לשם דיוק מגדירים מרחק, זווית והעתקות באמצעות מבנה וקטורי ומכפלה סקלרית. מכפלה סקלרית (inner product) היא פעולה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה מספר. בעזרת המכפלה הזו מחשבים אורכים (נורמה) וזוויות. הגישה האנליטית־קרטזית, שעושה שימוש בצירים ובאלגברה, מקלה על הכללה לממד גבוה יותר.

חשוב לציין הבדל עדין: מרחב אוקלידי הוא במובן מסוים מרחב אפיני (affine) שאליו פועל מרחב וקטורי. משמעות הדבר היא שאין נקודת ראשית מוסכמת במרחב, אפשר להזיז את כל המרחב.

מסמנים ב-\mathbb{R} את המספרים הממשיים. כל קבוצה של n מספרים מסודרים יוצרת את \mathbb{R}^n. נקודה ב־\mathbb{R}^n היא פשוט סדרה של n מספרים (x_1, x_2, …, x_n).

ב־\mathbb{R}^n מוגדרות חיבור של וקטורים וכפל בסקלר (מספר). יש בסיס סטנדרטי של וקטורי יחידה e_1, e_2, …, e_n. כל וקטור נכתב כסכום x_1 e_1 + … + x_n e_n. כל מרחב וקטורי ממשי ממד n הוא דומה ל־\mathbb{R}^n (איזומורפי), אך קיום האיזומורפיזם תלוי בבחירת בסיס.

המכפלה הסקלרית של שני וקטורים x ו־y מוגדרת כסכום המכפלות המתאימות של רכיביהם. תוצאתה היא מספר ממשי ולעיתים חיובית. הנורמה האוקלידית של וקטור x היא השורש הריבועי של המכפלה של x בעצמו. הנורמה נותנת את 'האורך' של הווקטור.

הזווית בין וקטורים מחושבת בעזרת הפונקציה ההפוכה של הקוסינוס על יחס המכפלה הסקלרית לאורךיהם. אי־שוויון קושי־שוורץ מבטיח שהחישוב תקף.

ממד האוקלידי מציע גם מטריקה, כלומר פונקציית מרחק: המרחק בין שתי נקודות הוא הנורמה של ההפרש ביניהן. זוהי אותה נוסחה שחושפת את קשר משפט פיתגורס למרחבים רב־ממדיים.

סיבוב במרחב אוקלידי הוא העתקה ליניארית שמשמרת מרחקים וזוויות. במונחי מטריצות, סיבובים מיוצגים על ידי מטריצות אורתוגונליות מיוחדות.

מרחב אוקלידי הוא הכללה של המישור ושל המרחב התלת־ממדי. השם נלקח מאוקלידס, מתמטיקאי יווני.

אפשר לדמיין מרחב כזה כמקום ישר שבו מודדים מרחקים וזוויות. העתקה היא להזיז את כל הנקודות יחד. סיבוב משנה את הכיוון סביב נקודה.

צורות נחשבות זהות אם אפשר לקבל את האחת מהשנייה על ידי הזזה, סיבוב או שיקוף.

במרחב הזה נקודה מיוצגת על ידי רשימה של מספרים. למשל, במישור יש שתי מספרים. במרחב תלת־ממדי יש שלוש.

השם \mathbb{R}^n אומר: יש כאן n מספרים בכל נקודה.

יש דרך פשוטה למדוד אורך של וקטור. וקטור הוא כיוון עם גודל. האורך הזה עוזר לחשב מרחק בין נקודות.

גם אפשר לחשב זוויות בין וקטורים. סיבוב הוא פעולה שמשאירה את האורכים והזוויות ללא שינוי.

כך אפשר להשתמש בכללים האלה כדי להבין צורות בתמונה של מישור או בחלל, וגם בממדים גבוהים יותר, בלי לראות אותם.