מרחב קומפקטי מקומית

מרחב קומפקטי מקומית הוא מרחב טופולוגי שבו לכל נקודה יש סביבה קומפקטית.
(קומפקטי = קבוצה שניתן לכסות אותה בעזרת מספר סופי של קבוצות פתוחות.)
תכונה זו מתקיימת באופן אוטומטי במרחב קומפקטי, אך היא חלשה יותר: יש מרחבים קומפקטיים מקומית שאינם קומפקטיים, למשל הישר הממשי.
קומפקטיות מקומית מאפשרת לעבוד מקומית עם כלים של מרחבים קומפקטיים, וכך שומרת על התנהגות "קומפקטית" בסביבה קרובה של כל נקודה.

אפשר לפרק מרחב לקבוצות (אולי חופפות), כך שכל חלק קומפקטי. במרחב אוסדורף (Hausdorff, כלומר אפשר להפריד נקודות בעזרת פתוחות) כל קבוצה קומפקטית היא סגורה, ולכן מספיק לכסות את המרחב בקבוצות פתוחות שהסגורים שלהן קומפקטיים. יש הגדרות מעט שונות במרחבים שאינם אוסדורף; וויקיפדיה מגדירה קומפקטיות מקומית כקיום בסיס מקומי של קבוצות קומפקטיות.

כל מרחב אוקלידי הוא קומפקטי מקומית. הישר הממשי הוא דוגמה בסיסית: הוא לא קומפקטי, אך מקומי קומפקטי. הכדור (הספירה) הדו‑ממדית הוא קומפקטי; אם נוציא ממנו נקודה הוא כבר לא קומפקטי, אבל נשאר קומפקטי מקומית, המרחב שנותר הומאומורפי למישור.
יש גם דוגמה מחוכמת: על קבוצה אינסופית X מגדירים טופולוגיה שבה פתוחות הן אלה שמכילות נקודה מיוחדת 0 (או הקבוצה הריקה). לכל x ב‑X הסביבה {0,x} קומפקטית, אבל לנקודה 0 אין סביבה שהסגור שלה קומפקטי, כי כל סביבה שמכילה את 0 סוגרת ל‑X.

קומפקטיות מקומית תורשתית על תתי מרחבים פתוחים או סגורים (כלומר תת‑מרחב פתוח או סגור יהיה גם הוא קומפקטי מקומית), אך אינה תורשתית לכל תת‑קבוצה כללית. אם המרחב הוא אוסדורף וקומפקטי מקומית, הוא גם רגולרי; לעומת זאת מרחב אוסדורף שהיה קומפקטי הוא נורמלי.
בעוד שמכפלה אינסופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית (לפי משפט טיכונוף), מכפלה של מרחבים קומפקטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית. עובדה זו קשורה להירות במבנים מתמטיים מתקדמים; למשל חוג האדלים של שדה גלובלי הוא קומפקטי מקומית.

מרחב קומפקטי מקומית אומר שלכל נקודה יש סביבת קומפקטית.
(קומפקטי = אפשר לכסות את הכל עם מספר קטן של חלקים פתוחים.)
זה שונה מלהיות קומפקטי לכלל המרחב.

אפשר לחלק מרחב לחלקים שכל אחד מהם קומפקטי. בחלק מהמקרים, אם אפשר להפריד נקודות היטב (אוסדורף), מספיק לבדוק שסגור של קבוצות קטנות הוא קומפקטי.

הישר הממשי לא קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית. כל מרחב אוקלידי הוא קומפקטי מקומית.
הספירה הדו‑ממדית היא קומפקטית. אם מוציאים ממנה נקודה, היא כבר לא קומפקטית, אבל עדיין קומפקטית מקומית. אז המרחב דומה למישור.
יש גם דוגמה מוזרה: יש קבוצה אינסופית עם נקודה מיוחדת 0, שבה כל קבוצה שמכילה 0 פתוחה. לכל x הקטנה {0,x} היא קומפקטית, אבל לנקודה 0 אין סביבת "קטנה" עם סגירה קומפקטית.

אם לוקחים חלק פתוח או חלק סגור של מרחב קומפקטי מקומית, הוא גם יישאר קומפקטי מקומית.
כפל של הרבה מרחבים קומפקטיים יכול להיות קומפקטי, אבל כפל של מרחבים קומפקטיים מקומית לא תמיד יהיה כזה.
במתמטיקה מתקדמת יש מבנים, כמו חוג האדלים של שדה גלובלי, שהם קומפקטיים מקומית.