חוג אוקלידי
חוג אוקלידי הוא חוג שבו אפשר לחלק עם שארית. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. תחום שלמות הוא חוג בלי בעיות של אפס בכפל. יש פונקציה שמודדת "גודל" של איבר. בכל חילוק a על ידי b אפשר למצוא מנה ושארית. השארית קטנה לפי המדד הזה. כך עובדים כמו בחילוק של מספרים בשלב בית הספר. דוגמה חשובה היא החוג של המספרים ה...
מרחב אוקלידי
מרחב אוקלידי הוא הכללה של המישור ושל המרחב התלת־ממדי. השם נלקח מאוקלידס, מתמטיקאי יווני. אפשר לדמיין מרחב כזה כמקום ישר שבו מודדים מרחקים וזוויות. העתקה היא להזיז את כל הנקודות יחד. סיבוב משנה את הכיוון סביב נקודה. צורות נחשבות זהות אם אפשר לקבל את האחת מהשנייה על ידי הזזה, סיבוב או שיקוף. במרחב ...
גאומטריה אוקלידית
גאומטריה אוקלידית מדברת על נקודות, קווים ומעגלים. נקודה היא נקודה קטנה בלי גודל. ישר הוא קו ארוך שאפשר להמשיך אותו בלי סוף. מעגל הוא קו סביב נקודת מרכז במרחק קבוע. זווית היא הפינה בין שני קווים. היוונים קבעו חוקים פשוטים שעוזרים לבנות משפטים. החוקים העיקריים: 1. אפשר לצייר קו ישר בין שתי נקודות. 2....
גאומטריה לא-אוקלידית
גאומטריה לא-אוקלידית היא דרך שונה לעשות גאומטריה. היא שונה מכללים מסוימים של אוקלידס. אקסיומה (אקסיומה = כלל בסיסי) חשובה היא אקסיומת המקבילים. באוקלידס יש בדיוק קו אחד שעובר דרך נקודה ואינו פוגש קו אחר. בגאומטריה היפרבולית יש רבים מאוד קווים דרך אותה נקודה שאינם נפגשים בקו הנתון. בגאומטריה הספרית...
מרחב קומפקטי מקומית
מרחב קומפקטי מקומית אומר שלכל נקודה יש סביבת קומפקטית. (קומפקטי = אפשר לכסות את הכל עם מספר קטן של חלקים פתוחים.) זה שונה מלהיות קומפקטי לכלל המרחב. אפשר לחלק מרחב לחלקים שכל אחד מהם קומפקטי. בחלק מהמקרים, אם אפשר להפריד נקודות היטב (אוסדורף), מספיק לבדוק שסגור של קבוצות קטנות הוא קומפקטי. הישר המ...
נורמה (אנליזה)
נורמה היא דרך למדוד «אורך» של וקטור. וקטור הוא רשימה של מספרים שמראה כיוון וגודל. מרחב נורמי הוא מקום שבו יש נורמה. נורמה חייבת לעמוד בשלושה כללים פשוטים. האורך תמיד לא שלילי. אם אורך הוא אפס, הוקטור הוא הוקטור האפס. אם מכפילים את הוקטור במספר, האורך משתנה בהתאם. וגבול אחר אומר שאורך של סכום וקטור...
הופכי כפלי מודולרי
הופכי כפל מודולרי הוא מספר שמכפיל מספר אחר ונותן שארית 1 אחרי חלוקה ב־n. מודולו אומר שאנו מתמקדים בשארית אחרי החלוקה. לדוגמה, במודולו 9 ההופכי של 2 הוא 5. כי 2 כפול 5 שווה 10, ואחרי חלוקה ב־9 נשארת שארית 1. לכן לחלק 3 ב־2 במודולו 9 משמעותו להכפיל 3 ב־5. אם נכפיל את התוצאה ב־2 שוב, מקבלים חזרה את 3....
תחום ראשי
תחום ראשי הוא סוג של חוג שבו כל אידיאל הוא "ראשי". אידיאל ראשי נוצרת על ידי איבר אחד בלבד. זאת פירושה: כל האלמנטים בו הם כפל של אותו איבר. בגלל זה הרבה חישובים בחוגים אלה פשוטים יותר. דוגמאות ידועות הן Z (המספרים השלמים), Z[i] (המספרים הגאוסיים), וגם חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה. לא כל חוגים כ...
מערכת האקסיומות של הילברט
דויד הילברט בנה ב-1899 קבוצה של 20 אקסיומות. אקסיומה היא הנחה בסיסית שלא מוכיחים. המטרה הייתה לבנות חוקי יסוד לגאומטריה, במקום התיאורים הישנים של אוקלידס. המערכת מדברת על שלושה דברים בסיסיים: נקודה (נקודה = מיקום בלי גודל), ישר (קו שאפשר להושיט בלי כיפוף) ומישור (משטח שטוח). יש גם יחסים חשובים: ח...
מרחב תלת-ממדי
מרחב תלת-ממדי הוא מקום עם שלושה ממדים: אורך, רוחב וגובה. ממד הוא כיוון שניתן למדוד. זהו המקום שבו קורים דברים. לכל דבר אפשר לתת שלוש מספרים שיגידו איפה הוא נמצא. אנחנו חווים את העולם בתלת-ממד. מדענים הוסיפו גם את הזמן כדי לתאר תזוזה; כך מתקבל מרחב-זמן עם ארבעה ממדים. יש רעיונות שאומרים שיש עוד ממדי...
קטגוריה:אנליזה וקטורית
אנליזה וקטורית חוקרת וקטורים. וקטור הוא חץ שמראה כיוון ועוצמה. יש שני כלים חשובים. חשבון דיפרנציאלי בודק איך דברים משתנים. חשבון אינטגרלי עוזר לחבר ולמדוד כמויות. בדרך כלל זה נעשה במרחב תלת־ממדי, כלומר שלושה מימדים....
שדה סקלרי
שדה סקלרי אומר שכל מקום במרחב מקבל מספר. 'פונקציה' כאן פירושו חוק שמקשר מקום למספר. מרחב זה אוסף נקודות שמסומנות בעזרת מספרים. מפה טופוגרפית: לכל נקודה על המפה יש גובה. טמפרטורת נהר: לכל חלק במים יש טמפרטורה משלו. אפשר גם לכתוב נוסחאות שמקבלות כמה מספרים ומחזירות מספר واحد. ...
חוג השלמים של גאוס
חוג השלמים של גאוס הוא קבוצת המספרים a+bi. כאן a ו-b הם מספרים שלמים, ו-i הוא מספר מדומה שעבורו i^2 = -1. ("מספר מדומה" פירושו סימן מתמטי שחוקי החיבור והכפל עובדים עליו.) יש פונקציה שנקראת נורמה. הנורמה של a+bi היא a^2+b^2. זוהי דרך לומר "גודל" של המספר. החוג מאפשר לחלק ולהשתמש באלגוריתם כדי למצוא מ...
אוקלידס
אוקלידס (365, 275 לפנה"ס) היה מתמטיקאי יווני מפורסם. הוא עובד באלכסנדריה במצרים. אנו יודעים מעט על חייו. רוב המידע אודותיו הגיע מאנשים שכתבו עליו מאות שנים אחרי מותו. יתכן שלמד באקדמיה של אפלטון. אוקלידס כתב ספר גדול בשם "היסודות". הספר מסדר רעיונות במתמטיקה בצורה ברורה. הוא השתמש באקסיומות. אקסיו...
חפיפת משולשים
משולשים חופפים הם משולשים זהים בצורתם ובגודלם. זה אומר שצלעות מתאימות שוות, וזוויות מתאימות שוות. איזומטריה היא התאמה ששומרת מרחקים וזוויות. יש כמה כללים שמראים מתי משולשים חופפים: - צלע-זווית-צלע (SAS): שתי צלעות והזווית שביניהן שוות. - זווית-צלע-זווית (ASA): שתי זוויות והצלע שביניהן שוות. - צלע-צ...
מרחק
מרחק הוא כמה רחוק שני דברים זה מזה. על קו המספרים המרחק בין שני מספרים הוא הערך המוחלט של ההפרש. ערך מוחלט אומר כמה גדול המספר בלי המינוס. בעולם בתלת-ממד יש נוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות. המרחק הוא אורך הקו הישר הקצר ביותר שמחבר בין שתי נקודות. בחישוב מידע יש מרחק שנקרא מרחק הימינג. זה מספר ה...
ישר
ישר הוא קו ישר שיש לו רק אורך. הוא לא רחב ולא גבוה. יש כללים בסיסיים על ישרים. לדוגמה, דרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד. על כדור, "ישר" הוא מעגל גדול. יש נקודות שמולן נקראת נקודות אנטיפודיות. זה אומר שהן נמצאות נגדיות זו לזו בכדור. במישור אפשר לתאר ישר בעזרת נוסחה שמקשרת את x ו-y. את העובדה ש...
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף. קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצו...
שדה סדור
שדה סדור הוא אוסף של מספרים עם חיבור וכפל. יש בו גם סדר של "קטן עד גדול". הסדר צריך להתאים לחיבור ולכפל. אם x קטן מ‑y, אז x+z קטן מ‑y+z. אם 0 קטן מ‑x ו y קטן מ‑z, אז x·y קטן מ‑x·z. מספרים רציונליים (כמו 1/2) ומספרים ממשיים (כמו π) ניתנים לסידור בדרך רגילה. מספרים מרוכבים לא ניתנים לסידור. יש שדו...
מישור (גאומטריה)
מישור הוא שטח שטוח וגדול מאוד. אפשר לדמיין אותו כפיסת נייר אינסופית. הרבה בעיות בגאומטריה מתרחשות על מישור. כל נקודה על המישור מתחשבת על ידי שני מספרים. אלה נקראים קואורדינטות. אפשר גם להשתמש בצורת זווית ומרחק כדי למצוא נקודה. זו שיטה שנקראת קוטבית. זווית היא הכיוון, ומרחק אומר כמה רחוק מהמרכז. ...
אקסיומת המקבילים
אוקלידס, מתמטיקאי מן העת העתיקה, כתב כלל חשוב בגאומטריה. אקסיומה היא כלל בסיסי שלא הוכיחו. אקסיומת המקבילים אומרת בקיצור: דרך נקודה שמחוץ לקו אפשר לעבור רק קו אחד שמקביל לקו ההוא. אוקלידס בנה את הגאומטריה מתוך כמה הנחות פשוטות. הארבע הראשונות קצרות. החמישית ארוכה ומיוחדת. לכן היא זכתה לשם מיוחד. ...
מספר שלם
מספר שלם הוא מספר בלי חלק עשרוני. דוגמאות: 3, 0, -2. אלו כולם שלמים. מספרים כמו 3.5 או שורש 5 אינם שלמים. כותבים את קבוצת השלמים בדרך כלל כך: \mathbb{Z}. היא כוללת אפס, מספרים חיוביים ומספרים שליליים. לוחצים שני שלמים ביחד עם חיבור, מקבלים שלם. גם חיסור של שני שלמים נותן שלם. כך אפשר לשלם חובות...
נקודה (גאומטריה)
נקודה היא מקום מדויק במרחב. היא אין לה גודל. בראשון אין אורך, רוחב או עומק. בגאומטריה משתמשים בחוקים פשוטים שקובעים מהי נקודה. החוקים הללו קוראים אקסיומות. אקסיומה היא חוק בסיסי שאינו מוכח. בני יוון תהו אם קו עשוי מנקודות. זנון (פילוסוף) הציג פרדוקסים על חלוקה אינסופית. זה אומר שממש קשה להבין אי...
ניקולאי לובצ'בסקי
ניקולאי לובצ'בסקי (1792, 1856) היה מתמטיקאי מרוסיה. הוא המציא דרך חדשה לחשוב על מרחב. דרך זו נקראת גאומטריה היפרבולית. זו גאומטריה (דרך ללמוד צורות ומרחב) שונה מזו של אוקלידס. הוא נולד בניז'ני נובגורוד. כשהיה ילד המשפחה עברה לעיר קאזאן. למד באוניברסיטה של קאזאן והפך למורה ואחר כך לרקטור, המנהל של ה...