מרחב קשיר מסילתית

קְשירוּת מסילָתית היא תכונה של מרחבים טופולוגיים. מרחב טופולוגי (מרחב שבו יש משמעות לרציפות ולקרבה) נקרא קשיר מסילתית אם לכל שתי נקודות x,y קיימת מסילה רציפה f:[0,1] o X שמחברת ביניהן. מסילה רציפה היא פונקציה מהקטע [0,1] למרחב, בלי קפיצות.

דוגמאות:
רצועות כמו ℝ (המספרים הממשיים) וכל קטע ממשי הן קשירות מסילתית. גם מרחבים אוקלידיים בכל ממד d הם קשירים מסילתית. אם מסירים מספר סופי של נקודות ממרחב אוקלידי בממד d>1, התוצאה נשארת קשירה מסילתית.

טענה: כל מרחב קשיר מסילתית הוא גם קשיר. הרעיון: אם הייתה העתקה רציפה על, [f] על, {0,1} זה היה יוצר העתקה רציפה מהקטע [0,1] ל, {0,1}, וזה סותר את הקשירות של הקטע. לכן לא יכולה להיות חלוקה כזאת.

שקול את עקומת הסינוס: A={(x,\sin(1/x)):0
תמונה רציפה של מסילה היא מסילה. מכך נובע שמשתני מנה (quotients) של מרחבים קשורים מסילתית נשארים קשורים מסילתית, כי העתקות המנה רציפות ועל.

מכפלה של מרחבים, כלומר מרחב שבו כל נקודה היא רשימה של נקודות מהרכיבים, היא קשירה מסילתית בדיוק אם כל אחד מהמרחבים בה בנפרד הוא קשיר מסילתית. הרעיון להוכחה: מייצרים מסילה לכל קואורדינטה ואז משלבים אותן למסילה במכפלה. בכיוון ההפוך משתמשים בהטלות על קואורדינטות.

כל מרחב נחלק למחלקות שקילות שנקראות רכיבי קשירות מסילתית. רכיב כזה הוא הקבוצה הגדולה ביותר שמכילה נקודה וניתן לחבר את כל נקודותיה במסילות. בדוגמת עקומת הסינוס, A ו־B הם רכיבי הקשירות המסילתית של האיחוד.

בתחום הטופולוגיה האלגברית, החבורה היסודית (החבורה שמתארת לופים או מעגלים במרחב) מושפעת רק מרכיב הקשירות המסילתית של נקודת הבסיס. לכן בחלל שקשיר מסילתית, החבורה היסודית אינה תלויה בבחירת נקודת הבסיס.

מילות מפתח: קשירות מסילתית מרחב טופולוגי מסילה רציפה עקומת הסינוס מכפלת מרחבים רכיב קשירות מסילתית חבורה יסודית

קשירות מסילתית אומרת שאפשר לחבר כל שתי נקודות במרחב בעיקול רציף. מסילה היא קו שנצייר מבלי לקפוץ.

דוגמאות: קו ממשי (ℝ) וכל המישורים הם כאלה. גם קטע פשוט הוא כזה.

אם אפשר לחבר כל שתי נקודות במסילות, אז המרחב גם קשור (אי אפשר לחלק אותו לשני חלקים נפרדים).

עקומת הסינוס מורכבת משתי חלקים: A ו־B. כל חלק אפשר לחבר בו במסילה. האיחוד שלהם קשור, אבל אי אפשר לצייר מסילה שמחברת נקודה מ־A לנקודה מ־B.

אם מציירים מסילה ומעבירים אותה בעזרת פונקציה רציפה, מקבלים שוב מסילה. לכן חיבורים מיוחדים של מרחבים (מכונים "מנה") שומרים על התכונה.

אם מרחב הוא תוצאה של חיבור של מספר מרחבים, הוא אפשר לחבר בו נקודות במסילות רק אם כל מרחב שייתן נקודה הוא כזה.

כל נקודה שייכת לחלק הכי גדול שאפשר לחבר בו במסילות. זה נקרא רכיב קשירות מסילתית.

חבורת הלופיים (מדד למעגלים במרחב) לא משתנה אם עוברים בין נקודות שניתנות לחיבור במסילה. לכן בחלל שקשיר מסילתית, המדד הזה זהה לכל הנקודות.