משוואה דיפרנציאלית חלקית

במתמטיקה משוואה דיפרנציאלית חלקית (PDE) היא משוואה שמקשרת פונקציה של שני משתנים או יותר לנגזרותיה החלקיות. נגזרת חלקית היא שינוי של הפונקציה לפי משתנה אחד כאשר שאר המשתנים נחשבים קבועים. לעומת זאת, משוואה דיפרנציאלית רגילה עוסקת בפונקציה של משתנה אחד.

דוגמה חשובה היא משוואת החום. כאן הנעלם הוא הטמפרטורה, שתלויה בזמן ובמיקום. המשוואה מקשרת בין קצב שינוי הטמפרטורה בזמן לבין השינויים שלה במרחב.



נגזרת חלקית של פונקציה u לפי x מסומנת u_x. נגזרות מסדר גבוה מסומנות בדומה, למשל u_{xy}.


כדי שהמשוואה תהיה מוגדרת צריך לציין תנאי שפה, כלומר ערכי הפונקציה על גבול התחום. למשל במשוואת החום של מעבד צריך לדעת את הטמפרטורה ההתחלתית וכמות החום המיוצרת.



בעיה מוגדרת היטב (well-posed) אם קיים פתרון יחיד והוא יציב. יציבות פירושה ששינוי קטן בתנאים גורם לשינוי קטן בפתרון.


בחלק מהמקרים ניתן למצוא פתרון פורמולרי, כלומר צורה פונקציונלית u=f(x_1,...,x_n). שיטות אנליטיות עובדות היטב כאשר הבעיה פשוטה וגבולותיה מסודרים.


כאשר תנאי השפה מורכבים או אין פתרון אנליטי, משתמשים בשיטות נומריות על מחשב. בשיטות אלה מחלקים את המרחב לתאים קטנים ומחשבים את הערכים בכל תא לפי הדיוק המבוקש.


משוואות PDE מתארות תופעות רבות בטבע. דוגמאות חשובות: גל מתפשט (משוואת גל), חום או דיפוזיה (משוואת החום), פוטנציאל חשמלי באזור ללא מטענים (משוואת לפלס), ויחסית מתקדמת, משוואת שרדינגר שמתארת פונקציית גל מקוונטית.


משוואות רבות מופיעות בצורה ליניארית עם נגזרות עד סדר שני. ניתן למיין משוואות אלה לפי הערך B^2-AC: אם הביטוי חיובי המשוואה היפרבולית, אם אפס היא פרבולית, ואם שלילי היא אליפטית. חלוקה זו קשורה באופן בו פתרונות מתנהגים, בדומה לקטעים של חרוט בגיאומטריה.





פתרון אמיתי הוא פונקציה גזירה עד סדר המשוואה שעונה על תנאי ההתחלה. כל פתרון שאינו כזה נקרא פתרון מוכלל.

משוואה דיפרנציאלית חלקית היא חוק מתמטי על פונקציה של כמה משתנים. פונקציה היא דבר שנותן מספר לכל מקום.

נגזרת היא מדד לשינוי. נגזרת חלקית אומרים כשמסתכלים על שינוי לפי משתנה אחד בלבד.

דוגמה פשוטה היא משוואת החום. היא אומרת איך טמפרטורה משתנה בזמן וברחבי המקום. כדי לפתור צריך לדעת מתחילים עם איזו טמפרטורה ומה המקור לחום.

יש פתרונות שניתן לכתוב בצורה מדויקת. קוראים להם פתרונות אנליטיים. לפעמים זה קשה. אז מחשבים פתרון בקירוב בעזרת מחשב. מחשבים מחלקים את המקום לחלקים קטנים.

משוואות כאלה מתארות גם גלים שמתפשטים, חום שזורם, ופוטנציאל חשמלי באזורים בלי מטענים. כל מקרה מתנהג אחרת לפי סוג המשוואה.

יש גם מושג של בעיה מוצגת היטב. זה אומר שיש פתרון אחד והוא לא משתנה בפתאום כשמשנים קצת את הנתונים.