משפט הערך הממוצע של לגראנז'

משפט הערך הממוצע של לגראנז' עוסק במשיק לגרף של פונקציה רציפה בקטע סגור. "רציפה" פירושו שאין קפיצות בערכים, ו"גזירה" פירושו שיש נגזרת, קצב השינוי של הפונקציה, בכל נקודה פנימית. אם f רציפה על [a,b] וגזירה על (a,b), קיימת נקודה c ב-(a,b) כך ש-
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

הרעיון בהוכחה פשוט. בונים את הקו הישר k שמחבר את הנקודות (a,f(a)) ו-(b,f(b)). הקו הזה גזיר ונגזרתו שווה לשיפוע הקו. בוחנים את ההפרש h(x)=f(x)-k(x). h רציפה על [a,b] וגזירה על (a,b), וגם h(a)=h(b)=0, ולכן על פי משפט רול קיים c שבו h'(c)=0. מה שנותן f'(c)=k'(c) ושווה לשיפוע הממוצע (f(b)-f(a))/(b-a).

חשוב: הדרישה לגזירות בתוך הקטע נחוצה. אם הפונקציה לא גזירה בנקודה פנימית, המשיק המבוקש עשוי שלא להתקיים.

המשמעות המעשית: המשפט אומר שקיים רגע שבו השינוי הרגעי שווה לשיעור השינוי הממוצע. לדוגמה, אם מכונית עברה 100 ק"מ בשעתיים, היה רגע שבו מהירותה הייתה בדיוק 50 קמ"ש, בהנחה שהמרחק כפונקציה של הזמן רציף וגזיר.

למשפט יש גם גרסה לאינטגרל. לכל פונקציה רציפה f על [a,b] קיימת נקודה c ב-(a,b) כך ש-
\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a).
גאומטרית, אם f לא שלילית, השטח מתחת לגרף שווה לשטח מלבן שאורכו (b-a) וגובהו f(c).

הוכחה קצרה: תהי F קדומה של f. מרגרסת הערך הממוצע רגיל נמצא c כך ש-F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=f(c). לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי מתקבל ש-\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a).

המשפט חשוב תיאורטית ומשמש להערכות שגיאה ולבניית הוכחות במשפטים מתקדמים. הוא מהווה הרחבה של משפט רול, שמניח ש-f(a)=f(b).

משפט הערך הממוצע אומר: אם פונקציה חלקה בלי קפיצות ויש לה מהירות שינוי בכל מקום פנימי, אז יש נקודה שבה השינוי הרגעי שווה לשינוי הממוצע על הקטע.

מחשבים את הקו הישר שמחבר את שני קצות הגרף. לוקחים את ההפרש בין הפונקציה לקו הזה. ההפרש שווה ל-0 בשני הקצוות. לפי משפט רול (שמשמעותו: אם פונקציה מתחילה ומסתיימת באותו ערך, יש נקודה עם נגזרת אפס) יש נקודה פנימית שבה ההפרש לא משתנה. לכן השיפוע של הפונקציה שם שווה לשיפוע הקו.

הסבר מילים קשות: "נגזרת" זאת מהירות השינוי של הפונקציה. "רציפה" זאת בלי קפיצה.

דוגמה פשוטה: אם נסעת 100 ק"מ במשך שעתיים, בוודאות היה רגע שבו נסעת בדיוק 50 קמ"ש, בהנחה שאין קפיצות במהירות.

יש גם גרסה על שטח: יש נקודה שבה גובה הפונקציה כפול רוחב הקטע שווה לשטח מתחת לגרף. זאת אומרת השטח שווה לשטח מלבן שגובהו ערך הפונקציה בנקודה ההיא.

המשפט עוזר להבין איך שינוי ממוצע קשור לשינוי במקום מסוים. הוא שימושי בלימוד חשבון.