מתנד הרמוני קוונטי (או אוסצילטור הרמוני קוונטי) הוא הגרסה הקוונטית של מתנד הרמוני הקלאסי. זהו מודל מרכזי בפיזיקה הקוונטית, כי בעיות רבות ניתנות לתיאור כמערכת של אוסצילטורים כאלו. היתרון שלו הוא שניתן לפתור אותו באופן מדויק.
במקרה הפשוט יש חלקיק עם מסה m בתוך פוטנציאל צורת קשת. ההמילטוניאן (האוֹפרטור של האנרגיה) כולל אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית הרמונית. בפתרון של משוואת שרדינגר מקבלים מצבים עצמיים של האנרגיה. פונקציות הגל של המצבים החלקיים ניתנות לביטוי בעזרת פולינומי הרמיט (polynomials Hermite), והמספר הקוונטי n הוא מספר שלם אי־שלילי.
האנרגיות העצמיות מקוונטטות (כלומר: מקבלות ערכים בדידים). הערך הכללי הוא E_n = ħω(n + 1/2). שני המאפיינים החשובים הם: האנרגיות מדורגות ברווח קבוע ħω, ואנרגיית המצב הנמוך ביותר אינה אפס אלא ħω/2. אנרגיית היסוד הזו נקראת גם אנרגיית נקודת האפס (zero-point energy) ויש לה השלכות חשובות, למשל בקוונטיזציה של שדות ובתופעות כמו אפקט קזימיר.
צפיפות ההסתברות של מצב היסוד מרוכזת סביב ראשית הפוטנציאל. ככל שמספר הקוונטי עולה, פונקציות הגל מתמרכזות בנקודות המפנה הקלאסיות, התנהגות שתואמת את עקרון ההתאמה של בוהר (שבהגבולות המתאימים יש התאמה לתיאור הקלאסי).
יש שיטה אלגברית שהמציא דיראק, המבוססת על אופרטורים שמעלים ומורידים את דרגת העירור. אופרטור יצירה (creation) מעלה את n ב־1, ואופרטור חיסול (annihilation) מוריד אותו ב־1. אופרטורים אלה נבנים מאופרטורי המקום x והתנע p. הם מקיימים יחס חילוף מרכזי [a,a†]=1 ופשטות של ההמילטוניאן כיצירה וחיסול: H = ħω(a†a + 1/2).
באמצעות יחסי חילוף אלו מראים שכל הפעלת הורדה על מצב יסוד נותנת אפס, ולכן אין אנרגיות שליליות. מצב היסוד מוגדר כך ש-a|0> = 0, ומשם בעזרת a† מייצרים את כל המצבים |n> ונותנים את האנרגיות E_n = ħω(n+1/2).
השיטה חוסכת את פתרון המשוואה הדיפרנציאלית ומאפשר הכללות פשוטות בבעיות מסובכות יותר ובתורת השדות הקוונטית.
אפשר גם להגדיר קואזי-תנע P(x), כלומר נגזרת לוגריתמית של פונקציית הגל. הצבתו במשוואת שרדינגר נותנת משוואה דומה לזו הקלאסית עם תוספות קוונטיות. ניתוח הקטבים של P(x) משלים את הקשר לפולינומי הרמיט ולכמות האפסים של פונקציית הגל, וגם משחזר את ספקטרום האנרגיות. הגבול הקלאסי מתקבל כ־ħ נתפס כקטן.
מצבים קוהרנטיים הם מצבים שמיצגים תנודה שמתנהגת בדומה לאוסצילטור הקלאסי. מצב קוהרנטי |α> הוא קומבינציה של מצבי האנרגיה |n> עם משקל פואסוני. אופרטורי הסולם בזמן לפי תמונת הייזנברג נעים כמו חישוב פשוט a(t)=a(0)e^{-iωt}, ולכן ממוצעי המקום והתנע בתצורת מצב קוהרנטי מתנהגים כקוֹסינוס וסינוס בתדירות ω. כך חבילת הגלים מתנדנדת עם תדירות, מופע ומשרעת שנקבעים על ידי α.
ניתן להכליל ל־N ממדים: יש N קואורדינטות x_i ונגדן N תנעים p_i. ההמילטוניאן מפריד לסכום של N המילטוניאנים חד־ממדיים זהים. לכן המערכת שקולה ל־N אוסצילטורים בלתי תלויים, וכל מצב מתואר על ידי וקטור של רמות עירור (n_1,...,n_N). האנרגיה הכוללת היא ħω[(n_1+...+n_N) + N/2].
ברב־ממדי מופיעה דגנרציה (degeneracy): יש יותר ממצב אחד עם אותה אנרגיה. בדוגמה של שלושה ממדים, דרגת הניוון עבור סכום n נתון היא (n+1)(n+2)/2.
תנודות בגביש מוצק ניתנות לתיאור כאוסף אוסצילטורים מצומדים. בעזרת שינוי קואורדינטות מקבלים אופני תנודה קולקטיביים שנקראים פונונים (phonons). פונונים מתנהגים כחלקיקים נשאים של תנודות, ומשפיעים על מוליכות, קיבול חום ופיזור קרינה במוצקים.
הרעיון של אוסצילטורים וקוואנטיזציה מובל ישירות להקצאת מצבים לשדות, כמו השדה האלקטרומגנטי, שם כל מצב תנודה מקושר לפוטון. השיטה האלגברית ולמונחים של חיסול ויצירה שימושיים מאוד בקוונטיזציה שנייה.
אוסצילטור הרמוני קוונטי הוא הגרסה הקטנה והמשונה של קפיץ עם כדור. כאן החלקיק מתנהג לפי חוקי הקוונטים.
האנרגיה של החלקיק באה בקפיצות. זה אומר שאי אפשר לקבל כל ערך אנרגיה שרוצים.
האנרגיה הנמוכה ביותר אינה אפס. קוראים לזה אנרגיית נקודת האפס.
פונקציית הגל מתארת איפה ניתן למצוא את החלקיק. במצב היסוד היא מרוכזת ליד המרכז.
יש "מפעילים" שיכולים להעלות או להוריד את האנרגיה. מפעיל שמעלה נקרא אופרטור יצירה. מפעיל שמוריד נקרא אופרטור חיסול. מפעילים אלה עוזרים למצוא את כל מצבי האנרגיה בלי לפתור משוואות ארוכות.
מצבים קוהרנטיים הם חבילות גל שנעות כמו המתנד הקלאסי. הם מתנדנדים בתדירות של המערכת.
אם יש כמה כיוונים, זה כמו להרכיב כמה אוסצילטורים יחד. האנרגיה היא סכום של האנרגיות של כל אחד.
לפעמים יש כמה מצבים שונים עם אותה אנרגיה. זה נקרא ניוון.
ברשת של אטומים אפשר לתאר תנודות כמו אוסצילטורים. התנודות הקולקטיביות נקראות פונונים. פונונים הם "חלקיקים" של רעידות שמושפעות מחומרים.
המושגים של יצירה וחיסול חשובים גם כשמבקשים לתאר שדות כמו האור.
תגובות גולשים